MATLAB在电动力学教学中的应用研究

李佳伟 王 婕 张中月 王恒通

(陕西师范大学物理学与信息技术学院 陕西 西安 710119)

MATLAB在电动力学教学中的应用研究

李佳伟 王 婕 张中月 王恒通

(陕西师范大学物理学与信息技术学院 陕西 西安 710119)

从稳恒场和时变场两个方面选取了电动力学中较为重要的典型问题，结合Matlab软件编程作图，基于直观的图像或动画深入分析物理公式或物理问题的本质，凸显将Matlab应用在电动力学的教学中化抽象为具体的优势，以期在一定程度上提高学生的学习兴趣，帮助学生更好地理解复杂的数学表达式背后的物理含义，为改善电动力学课堂的教学效果提供借鉴.

Matlab电动力学 模拟计算

1 引言

电动力学是高校物理学专业学生的一门必修理论课，除物理学专业外，很多其他的理工科专业也开设有电动力学的课程.作为四大力学之一，电动力学是理论物理的重要组成部分，它的基本原理是电磁场和电磁波等重要的基础理论，其理论体系在培养学生的物理素养方面发挥着不可替代的作用，同时对于指导社会生产实践也具有重要的价值.电动力学中的概念及规律比较抽象，课程内容中含有大量的物理符号与运算公式，推导复杂，计算量大且较为繁琐，不易理解.这给电动力学的教学增加了难度，学生要学好这门课程存在数学基础好，抽象思维能力强的较高门槛要求.

关于电动力学的教学近年来已经进行了一定的改革，现如今也正在朝着多种教学方法多种教学手段共同使用的方向发展.电动力学课程对于学生物理思维和数学能力的要求不会改变，因此没有直观的知识呈现方式，学生要理解抽象的物理公式、概念、规律在思维上的跨越就依然困难.

Matlab是功能强大的科学及工程计算软件，它有着基于矩阵运算的强大数学计算与分析功能、方便的程序设计功能以及丰富的图形表现功能，是非常重要的模拟计算软件.利用Matlab作图有诸多优势，例如：(1)绘图和图形处理功能强大.Matlab有一系列的绘图函数，需要时进行调用即可；软件提供了强大的图形处理系统，既可以完成二维和三维数据的表达和处理，也可以实现对复杂图形对象的操作，能够生成动画.值得一提的是，Matlab的图形窗口可以根据观察的需要调整角度，便于分析物理矢量在各截面的分布情况.(2)部分问题无需编程仍可进行研究.Matlab提供了多种类型的工具箱，用户无需自己编写程序，只需在相应的工具箱内设置相关参数，就可以直接进行深入的研究[1].

Matlab软件具有友好的交互界面和强大的作图功能，通过Matlab软件编程作图，能够将抽象的物理模型、物理公式和计算结果用具体的图像或动画的形式直观模拟出来，在此基础上深入分析物理公式或物理问题的本质，并研究物理模型的动态变化规律.这种直观的知识呈现方式将在一定程度上帮助学生在对物理知识有清晰认识的情况下，较为轻松地掌握相关概念及规律，加深印象的同时提高学生学习电动力学的兴趣，有助于改善电动力学课堂的教学效果.

目前大部分高校都开设有Matlab课程的必修课或选修课，这说明将这一工具应用在电动力学的教学和学习中有很强的可行性和诸多的有利条件.另外，Matlab正在逐渐成为不可或缺的科研软件，有着广泛的应用前景，加强Matlab在教学中的应用也将为培养学生的科学素养打下良好的基础.

本文以促进电动力学的教学为目的，选取了电动力学学习中的多个重要问题，借助Matlab软件编程作图，并对模拟的结果进行细致分析，旨在说明将Matlab软件与电动力学的教学紧密结合是改善电动力学教学效果的有效途径.

2 Matlab软件在模拟静电场方面的应用

2.1Matlab模拟接地导体角域的电场电势分布

镜像法是电动力学教学中的重要内容，但其物理内涵学生不易深刻理解.尤其容易误会原求解问题与采用镜像法等效替换后的问题只在求解区域内是同解，下面通过Matlab模拟用镜像法解决导体角域的问题，作出直观的图像并进行说明.

一个点电荷q放在60°的接地导体角域内的点(1, 1, 0)处，求点(x, y, z)处的电势[2].

通过理论计算，能够得到镜像电荷的位置、大小和电势，有如下结果：

在得到电势φ的表达式后，我们对电场与电势的分布缺乏一个感性的认识.借助Matlab编程容易得到电势表达式所对应的如图1所示的电场和电势的分布图.

图1清晰地呈现了导体角域内的点电荷和角域外的5个镜像电荷共同形成的电场(带箭头的线)和电势(不带箭头的线)的分布形态.空间内原本的电场是点电荷q激发的电场和导体板上感应电荷激发电场的叠加，空间的电势分布也是点电荷和感应电荷遵循叠加原理形成的，场只存在导体角域内.从图1容易看出等价后点电荷叠加的场在角域外也有场的分布，二者的等价只是在角域内成立.

图1 接地导体角域的电场和电势分布图

将图像和公式相结合可以更好地理解镜像法的基本思路及物理含义.也可以借助Matlab计算指定点的电势值，使学生从繁琐的计算中解脱出来.此类问题中无论导体板、导体球还是导体角(角度数能被180°整除)，接地或是不接地，导体球表面带或不带电荷，电场和电势的分布情况均可以以直观的图像方式呈现，帮助学生更好地建立物理图像，理解物理方法的原理和物理问题的本质.

2.2 Matlab模拟两带电导体球的相互作用

上述讨论的情形是在能够得到明确解析解的前提下，通过Matlab编程作出直观的图像，从而帮助学生在一定程度上跨越想象的障碍，更好地理解电动力学抽象而深刻的物理内涵.但这一前提有两个不便之处：一是在编程不熟练的情况下，作出图像的困难较大；二是在无法计算得到解析解(如边界条件较复杂难以计算出解析解或边界不规则没有解析解)的情况下，编程就无法进行.Matlab中有可以专门实现二维空间上偏微分方程数值求解的工具箱——PDE工具箱，能够很好地解决这一问题.

相隔一定距离的两带电导体球的相互作用问题是电动力学中的重要问题之一，有多篇文献[3～5]都对此进行了研究，但这些文献的研究主要依赖于数学上的推导计算，因此理解起来仍有困难.下面对两个相隔一定距离的带电导体球问题进行Matlab模拟和分析.

首先借助Matlab作出当两带电导体球各参数分别为Q1=0.01 C，Q2=0.01 C，R1=1.0 m，R2=2.0 m时，两导体球间的相互作用力F随间距d变化的关系图，如图2所示.

图2 两带电导体球间相互作用力F随间距d变化的关系图

由图2可知作用力F随间距d变化的趋势和规律，但相互作用力仅以数值和曲线的方式呈现还不够直观，也不能看出两带电导体球间电场和电势的分布关系.这种情况下若要再进行编程处理困难较大，而借助PDE工具箱可以轻松实现.在工具箱中建模、设置相关参数和剖分网格，设置界面，作出当两带电导体球的间距d分别为d=3.2 m，d=3.699 m和d=10 m的情况下，导体球间电场和电势的二维分布图，如图3(a)、(b)、(c)所示，相应的电势三维分布图如图4(a)、(b)、(c)所示.

图3 导体球间电场和电势的二维分布图

图4 导体球间电势的三维分布图

由图2可知，当两带电导体球间距d=3.2 m时，其相互作用力表现为引力，d=10 m时，其相互作用力表现为斥力，而d=3.699 m是引力和斥力的分界点距离.而在图3中，抽象的相互作用力以电场和电势的二维分布图的形式呈现，一目了然，图4电势的三维分布图更是能够帮助学生从立体的角度感受数值的大小.两带电导体球的问题有非常广泛的现实意义，借助这一工具能更方便地进行深入研究.

编程不熟练也并非障碍，仅需在PDE工具箱中进行参数的设置等步骤就可以直观、快速地看到数值计算输出的形象结果，让原本需要很高的理论基础和编程技巧的问题集成在一个简洁的图形用户界面上就得以解决.网格加密和输出图形前检测网格质量的处理都有效地提高了计算精度，实现了误差可控[6].这些都充分体现了PDE工具箱使用门槛低、设置人性化的优势.如此高的方便程度、灵活程度和计算精度使学生能够从繁琐的求解步骤中解脱出来而专注于物理问题本身.

3 Matlab在模拟电磁波方面的应用

3.1 Matlab模拟均匀平面电磁波的传播

电磁波是时变电磁场相互激发的结果，它有两个振动矢量，这一点与一般的机械波有所不同.由于电磁波非常抽象，导致学生学习和理解电磁波有很大的障碍，因此用Matlab模拟电磁波十分必要.

均匀平面波是最基本最重要的一种电磁波，其瞬时值表达式为

E=eyEmcos(ωt-kx+φ0)

然而单从电场E和磁场H的表达式是无法想象出电磁波到底是如何传播的，下面利用Matlab进行模拟，作出均匀平面电磁波在线性、均匀、各向同性的无限大理想介质中的传播动态图，选取动画中的几个时刻截图呈现，如图5所示.

图5 不同时刻均匀平面电磁波的传播

由图5可知，电场和磁场的振动方向都垂直于电磁波的传播方向，即在波传播的方向上没有电场或磁场分量，因此电磁波是横波.结合动画重新观察均匀平面电磁波瞬时值的表达式，就能更好地理解，电磁波的传播是动态的，它每时每刻的状态和位置都会发生变化，但E和H以及波矢三者相互垂直.通过对编程的设计还可以使动画播放过程中观察角度每隔一段时间自动进行调整，从全方位多角度对均匀平面电磁波的传播进行观察.对于电磁波的传播问题，若仅限于二维平面的显示，将不利于学生建立空间概念，而借助Matlab制作的动画的呈现就能很好地帮助学生从立体空间的视角清晰地掌握整个传播过程的规律.可见,Matlab编程能很直观地帮助学生理解原本很抽象的知识和规律，并在头脑中建立起模型，这能够在很大程度上激发学生学习电动力学的兴趣，并极大地丰富教学内容.

3.2Matlab模拟电偶极辐射场

电偶极辐射问题是电动力学的教学难点之一，对辐射场的模拟有利于学生对该部分知识的理解和掌握.

在远离电偶极子的远区场，电磁场可近似表示为

电偶极辐射的总辐射功率可表示为

根据表达式通过Matlab对电偶极辐射场进行动态模拟，下面选取几个时刻截图呈现，如图6所示.

图6 不同角度的电偶极辐射场图

图6中的(a)、(b)、(c)、(d)从不同的角度展示了电偶极辐射的过程.可以看出，辐射是有方向性的，在θ=90°的平面上辐射最强.这些模拟计算结果给学生留下了感性认识，加深了印象，有助于对抽象的物理公式的理解.

4 结束语

电动力学是物理专业一门重要的理论课，但由于研究对象为看不见摸不着的电磁场，因此课程较为抽象；采用的研究工具为场论分析，对数学基础要求较高，造成课程繁难.通过引入Matlab，针对物理问题进行编程模拟作图，可以借助Matlab的可视化功能在一定程度上实现将物理知识从单一的公式呈现到图片、动画相结合的呈现方式；化抽象为具体，加深学习印象，帮助学生跨越理解和想象的障碍，深入挖掘物理问题的本质，促进学生物理思维的形成，改善授课效果.同时也可以帮助学生将理论知识、实验仿真和实践应用有机结合，提高学生的综合素质.

1 赵晓峰．基于MATLAB的电磁辐射数据分析与仿真：[学位论文].上海：复旦大学，2008

2 郭硕鸿．电动力学(第3版)．北京：高等教育出版社，2008

3 杨慕贤．两个带电导体球问题的近似解．大学物理，1983(7)：27～30

4 赵先林，李金铭．关于两个带电导体球相互作用力问题的讨论．河南教育学院学报，2000，9(4)：12～15

5 王礼祥．导体双球静电问题的严格解．西南民族学院学报，1994，20(2)：133～139

6 何红雨．电磁场数值计算法与MATLAB实现．武汉：华中科技大学出版社，2004．45～59

ResearchontheApplicationofMATLABintheTeachingofElectrodynamics

LiJiaweiWangJieZhangZhongyueWangHengtong

(SchoolofPhysicsandInformationTechnology,ShaanxiNormalUniversity,Xi′an,Shaanxi710119)

The research aims to study some important typical problems from two aspects of electrostatic field and electromagnetic wave in electrodynamics learning, analyze the nature of physical formula or physical problems based on intuitive images or animation combined with Matlab programming, which means the transition from the abstract to the concrete. At the same time, the advantage of the application of Matlab in electrodynamics teaching can be highlighted. The research will help students to study and understand related concepts and regulation of electrodynamics in a good way, as well as provide ideas and methods to improve the teaching effect of electrodynam-

ics course.

Matlab；electrodynamics；simulated calculation

李佳伟(1980- )，男，博士，副教授，研究方向为高温超导.

2016-11-02)