3.1.1方程的根与函数的零点

湖北省十堰市张湾区田沟巷东风高级中学 陈军丽

学习目标

理解函数零点的概念以及函数零点与方程的根的关系;会求函数的零点

重点与难点

会用零点存在性定理判断函数零点的个数

一、问题引入

问题一：你会解下列方程么？

二、讲授新课

1.设置问题情境

问题一：（1） 解下列一 元二次方程：

（2）画出下列函数的图象：

①方程的根与对应的函数的图象有什么关系？

答：其实方程的根就是函数图象与 轴交点的横坐标。

②对于一般的二次函数上述结论成立么？

一般结论：

2.函数零点的定义

对于函数y=f(x)，我们把使____的实数x 叫做函数y=f(x)的零点。

提问：零点是一个点吗？（零点指的是一个_____）

3.等价关系

方程f(x)=0有.实数根函数f(x)的图象与x轴有_____函数y=f(x)有_____。

例1：讨论下列函数的零点的情况：

思考：我们已经学习了函数零点的定义，还学习了方程的根与函数零点的等价关系，在这些知识的探究发现中，我们也有了一些收获，那我们回过头来看看能不能解决lnx+2x-6=0的根的存在性问题？

4.零点存在性定理

探究：观察二次函数的图象（如图），我们发现函数在区间[– 2，1]上有零点。计算f(-2)与f(1)的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间[2，4]上是否也具有这种特点呢？

结论：如果函数y=f(x)在区间 [a,b] 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0 ，那么，函数y=f(x)在区间 (a , b) 内有零点，即存在c∈ (a,b)， 使得f(c)=0 ，这个c也就是方程f(x)=0的根。

零点存在性定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，

并且有f(a) ·f(b)＜0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点.

即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.

例2：判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例

（1）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)· f(b)＜0，则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点.（ ）

（2）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)· f(b)≥0，则f(x)在区间(a,b)内没有零点.（ ）

（3）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上满足f(a)·f(b) ＜0，则f(x)在区间(a,b)内存在零点.（ ）

（4）若函数y= 5x2- 7x-1在区间[a,b]上的图象是连续不断的曲线，且函数y= 5x2- 7x-1在(a,b)内有零点，则f(a)·f(b)的值( )

A.大于0 B.小于0

C.无法判断 D.等于0

问题：现在能够不用画图解决lnx+ 2x- 6 = 0的根存在性及根的个数问题了么？

三、课堂小结

1.函数零点的定义；

2.零点存在性定理；

3.数学思想方法。