让一年级的学生玩转拓扑

张宏伟

[摘 要]作为一年级开学的第一节数学课，主要活动是让学生剪莫比乌斯圈，通过其意想不到的结果，让学生感受到数学的神奇和好玩，从而拓宽学生的数学视野，激发学生的数学学习兴趣，让学生爱上数学课、爱上数学。

[关键词]莫比乌斯圈；拓扑；完整的数学

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2017）17-0009-03

我在提出“全景式数学教育”后，尝试突破教材规定的内容，以合适的方式引进一些学生全面成长必需的，浅显易懂和新奇有趣的，学生能够直观认识和了解的非欧氏几何、模糊数学等非传统内容，目的是让小学数学更为丰富和完整，从而拓宽学生的数学视野，广博学生的智力背景，活跃学生的思维，丰沛学生的情感，让学生更完整地认识数学本身，更完整地认识这个世界。

于是，在一年级开学的第一课，我就引入了“莫比乌斯圈”课程。这已经是我第三次在低年级进行“莫比乌斯圈”教学了。之前两次教学后，学生的学习过程、学习效果和家长的反响等都有力地证明：莫比乌斯圈是一年级学生能学习的、喜欢学习的课程，完全可以直观、操作化地引入。这一课的教学目标是让学生一入学就感受到数学的好玩和神奇，降低或者避免学生对数学和入学的“疑惧”；教师也能了解学生的动手操作能力以及关于学具的使用和整理的习惯。

该课程分两个课时。第一课时主要是通过剪的活动让学生感受莫比乌斯圈的好玩和神奇，激发学生对莫比乌斯圈（对数学）的兴趣。下面就是第一课时的教学实录。

一、初识莫比乌斯和莫比乌斯圈

出示PPT：

师：这个老爷爷如果还活着的话，就200多岁啦，是不是比张老师还老？

生（笑）：是！

师：这个老爷爷是德国著名的数学家，名字叫“莫比乌斯”（让学生试着读）。传说他9岁的时候就发现了一种神奇的圈（出示图2），一下就闻名世界，成了著名的数学家！

（学生瞪大眼睛听着）

師：为了表扬他伟大的发现，人们就用他的名字“莫比乌斯”来称呼这个圈，即“莫比乌斯圈”。

师：只要你积极地去观察、发现和尝试，说不定也能发现另外的一种圈。

如果是马怡宁发现的就叫——（生：马怡宁圈。）

如果是马楚珺发现的就叫——（生：马楚珺圈。）

如果是张嘉麒发现的就叫——（生：张嘉麒圈。）

……

二、 初步了解莫比乌斯圈的功用

师：不要小看这个圈，它在很多地方都有很大的用处。比如我们最喜欢玩的过山车，车道就是用莫比乌斯圈的原理制作的，如果没有莫比乌斯圈，过山车就没得玩了。

（播放关于过山车的视频；我和该班班主任达成协议：如果学生在这个月能够比较好地遵守班级的公约，就全班一起或者建议家长领着学生坐一次过山车，并参观北京新建成的中国科学技术馆大厅中的一座“三叶纽结”；播放关于打印机的色带、机器上的传送带的视频。）

师：莫比乌斯圈不光有用，如果把它剪开的话，你还会发现更神奇、更好玩的秘密。想不想试试？

生：想！

师：那我们先做个莫比乌斯圈吧。

三、做莫比乌斯圈

师（师生一起粘贴纸条，并将粘贴后的纸条与图2进行对比）：这个圈是莫比乌斯圈吗？

生：不是莫比乌斯圈。

师：这是一个普通的圈。

师：数学家莫比乌斯在第二次接这个纸条的时候就想到：“什么事情都要正着想想，也要反过来想想；什么事情都要正过来做做，也要反过来试试。如果把这个纸条拧一下，反过来接会变成什么样子呢？”

生：莫比乌斯圈。

师（师生一起将纸条的一端拧过去，反向粘贴后，再与图2进行对比）：这个圈是莫比乌斯圈吗？

生（坚定地）：是！

四、剪莫比乌斯圈

1.剪普通圈

（1）把圈压在一起，剪开一个小口：

（2）猜猜沿着这个小口从纸条中间剪下去，剪开后会是什么样子。（学生都认为应该是两个圈圈）

（3）学生剪开后发现的确是两个圈圈，都高兴地举起来，庆祝自己的胜利。

2.剪莫比乌斯圈

（1）猜猜莫比乌斯圈从纸条中间剪下去，剪开后会是什么样子。（绝大多数学生认为：还是两个圈。有两个学生说：“不对！应该是一个大圈，昨天我爸爸妈妈帮我剪了。”教师：“他们昨天做了，说：‘剪完后，还是一个圈，你们信吗？”学生半信半疑，有的干脆自己剪了起来。）

3. 师生一起剪

剪开后的结果让学生非常欣喜，因为他们真的有了“意外”的发现——真的是一个大圈。

“咦？”“怎么会这样？”……还有学生脱口而出：“还是一个圈，太奇怪啦！”

个别没有剪成功的学生十分着急，于是我定了一个新的规则：完成的同学即刻升级为“小老师”，协助没有完成的同学一起解决问题。

所有学生都剪成功后，我追问：“如果把这个剪开的莫比乌斯圈，再从中间这样剪下去，猜猜结果会怎样？”

绝大多数学生认为还是一个圈，是一个更大的圈。个别学生猜测是两个圈。

4.师生一起试着再剪

学生发现：得到的是两个串在一起的连体圈。

■

学生感叹道：“莫比乌斯圈真是个奇怪的圈！莫比乌斯圈太好玩啦！”

……

五、余音未了

1.不愿意……

此时下课铃响了，我宣布下课。很多学生不愿意下课，还要剪，还在剪，还在讨论……很多还没完成操作的学生宣布：我回家去剪！

2.如果……

一个叫魏莱的女学生，提出了自己的疑问：“如果再剪一次，会是什么样子呢？”

我向学生求助：“魏莱问我再剪一次会是什么样，你们知道吗？”

学生都马上操作起来：第三次剪出的仍然是两个连在一起的圈，第四次依然是两个连在一起的圈。

学生都忍不住发问：“那再剪呢？”

是啊，再剪呢？

这个叫“魏莱”的学生，让学生想象着莫比乌斯圈再剪下去的“未来”样子！

3. 把学生的作品挂在教室外面的展板上

很多学生看着同学们的作品，都由衷地感叹：“真的好美！”

我想他们感叹的绝对不仅仅是展板的美，更是莫比乌斯圈的美、数学的美！

（责编 金 铃）