例谈化归与转化的数学思想方法的应用

陈斌

所谓化归与转化的数学思想方法，就是指在分析处理问题时，把那些待解决或难解决的问题，通过某种转化过程，归结为一类已经解决或比较容易解决的问题，从而求得原问题解答的一种思维方法。它是数学思维方法中的一个重要组成部分。

1944年波利亚发表的《怎样解题表》，这是数学史上对化归思想给出具有代表意义的作品，这部作品中体现了运用化归思想解决具体数学问题的优越性。波利亚认为解决数学问题的具体思维过程分为四个阶段：弄清问题、拟定计划、实现计划和回顾。这四个阶段的思想实质是：理解、转换、实施、反思。他在表中引出一系列的问题，通过对问题的分析和解决过程，启发寻找解决问题的途径。弄清问题、拟定计划、实现计划和回顾这种思维过程的核心在于不断地变换问题，连续地简化问题，把解决数学问题看成是对问题化归的过程，最终化归到已掌握的知识或熟悉的问题上，从而使问题得以解决。

下面就数学教学中遇到的问题举几个化归与转化的例子。

例1.已知（x-2）+nf（2-3x）=■（m2≠n2），求f（x）的解析式。

简解：若设辅助函数u=3x-2，则x=■，就可以将已知的等式转化为mf（u）+nf（-u）=u …（1）

再将（1）式中的u代换为-u，得mf（-u）+nf（u）=-u …（2）

由（1）（2）联立的关于f（u）和f（-u）的二元一次方程组，容易解出f（u）=■=■ 故f（x）=■。

注：这是一个函数方程问题，一般要转化为函数方程组的问题来解决。

例2.若关于x的方程x2-mx+2=0在区间[1，2]上有解，求实数m的取值范围。

简解：分离参数m，m=x+■ x∈[1，2]，因为y=x+■在[1，■]单调递减，在[■，2]上单调递增，所以x∈[■，3]。

注：分离参数后问题转化成了求函数的值域。

例3.求函数y=ln（x2-2x+3）的值域。

简解：设t=x2-2x+3，则y=lnt，因为t=（x-1）2+2，所以，t≥2，又y=lnt在[2，+∞）上單调递增，所以函数单位值域是[ln2，+∞）。

注：通过换元法把问题转化成两个基本初等函数的单调性和值域问题。

例4.比较0.70.5和0.70.6的大小。

简解：因为y=0.7x在R上是减函数，又0.5<0.6，

∴0.70.5>0.70.6

注：构造指数函数，把两个静态的数转化为动态函数的两个值，用函数的单调性来比较大小。

例5.已知函数f（x）=x2-1+x2+kx。

（1）若k=2，求函数f（x）的零点；

（2）若关于x的方程f（x）=0在（0，2）上有2个不同的解x1，x2求k的取值范围，并证明■+■<4。

简解：（1）f（x）=2x2+2x-1，x<-1或x>12x+1，-1≤x≤1

若x<-1或x>1，令2x2+2x-1=0，得x=■或x=■（舍去）

若-1≤x≤1，令2x+1=0，得x=-■，

综上，函数f（x）的零点为■或-■。

（2）f（x）=2x2+kx-1，1

因为方程2x2+kx-1=0在（1，2）上至多有1个实根，方程kx+1=0，在（0，1]上至多有一个实根，结合已知，可得方程f（x）=0在（0，2）上的两个解x1，x2中的1个在（0，1]，1个在（1，2）。不妨设x1∈（0，1]，x2∈（1，2），

法一：设g（x）=2x2+kx-1

数形结合可分析出k<0g（1）<0，解得-■0

x1=-■，x2=■

■+■=■，-■

令t=-k，t∈（1，■），■+■=■在t∈（1，■）上递增，

当t=■时，■+■=4。因为t∈（1，■），所以■+■<4。

法二：由f（x）=0，可知k=-■，0

作出h（x）=-■，0

可得-■

注：（1）函数的零点问题转化成解方程的问题。

（2）本问是已知方程的实根分布求参数的范围，法一：转化为函数的零点问题，数形结合列出不等式组求解，不等式用函数的单调性证明；法二简洁，归功于转化方向，即分离参数，通过新函数的图象性质来解决。

化归思想方法是数学的一种重要思想方法，在运用化归思想方法解决问题并非一成不变的模式，它具有灵活性和多样性的特点，需要结合问题本身的已知充分发散思维，去探求能够有效解决问题的途径和方法，所以学习并能熟练运用划归思想，有意识地对问题进行数学变换，从而灵活地去解决相关问题，有助于学生提高对待变化问题的应变能力，从而提高解决问题的能力，最终达到提高数学能力的目的。