物尽其用，变“废”为“宝”

沈亚芳

摘 要：学生的学习是一个从不懂到懂，从不会到会的过程，在这个过程中，无论是哪个年龄段的学生，都会出现这样或那样的错误，这些都是正常现象。错误并不可怕，可怕的是面对错误时学生陷入“一错再错”的困境，教师困于“一讲再讲”的局面。这就要求教师在平时的课堂教学和作业批改中，要善于找出学生错误的真正原因，并且能有效筛选错误资源，物尽其用，达到以“错”治“错”，变“废”为“宝”的效果，使学生真正领悟数学知识的真谛，促进思维的进一步发展，从而使学生的学习负担和教师的教学负担都得到一定的减轻。

关键词：物尽其用；以“错”治“错”；变“废”为“宝”；减轻负担

从教以来，听了很多公开课。发现在许多课堂中，我们老师往往满足于学生的一路凯歌，陶醉于学生的尽善尽美，而视学生的差错为洪水猛兽，因而也常常容易忽略另一种精彩：“教与学错误碰撞的火花。”新的课堂提出了大量新的理念，而理想的课堂应该是真实的课堂，真探究必然伴随着大量差错的生成，“错误”具有刺激、醒悟、陪衬、免疫的功能。利用课堂上和作业批改中的错误资源发挥错误的价值，将使课堂因差错而更精彩。

一、以“错”为起点，分析错误原因，提高错误免疫力

错误并不可怕，可怕的是面对错误时学生陷入“一错再错”的困境，教师困于“一讲再讲”的局面。如果我们关于“错”之所以“错”了解得越深，那么关于“对”之所以“对”也就认识得越“透”。

1.学生对基本概念理解不透彻而产生的错误

数学概念是数学基础知识的重要组成部分，要求学生能够不同程度上进行记忆、了解、理解、运用。在解题过程中，直接考查概念的很少，绝大部分是在考查概念的内涵和外延，要求学生对数学概念不只是记忆，更要理解。学生在解题过程中所出现的由于对概念、规律的内容认识不清或不能正确理解它们的确切含义而产生的一些错误就是概念性错误。例如，有三个表达式y=x，y=x2，x=y2，问其中哪个表达式的图形是抛物线？很多学生都认为只有y=x2是抛物线，但其实不然。这反映出的就是学生对抛物线的概念掌握不清晰，因而容易在这类题中出现错误。

2.学生的知识建构不完善而产生的错误

学习不是简单的知识传递，而是学生建构知识经验的过程。学生的知识建构不完整，往往会导致学习中出现错误。例如，求函数y=kx2+（k+2）x+1与x轴的交点个数时，很多学生往往一看有x2就认为是二次函数，然后利用Δ=k2+4>0得出与x轴有2个交点，却不知自己遗漏了当k=0时为一次函数与x轴只有1个交点的情况。这种情况就属于学生对知识的建构不完善导致的错误。

3.学生的思维定式而产生的错误

数学思维的培养是非常有必要的，但是教师也要时常注意学生思维的引导，从而更好地让学生利用旧知识，灵活地应对新知识习题；但是很多学生并没有做好心理防备，形成了古板、机械化的解题思维，利用以往的知识诠释新知识，必然会导致习题解释的缺陷，从而出现错题的情况。例如有一次我批改作业发现有这样一个题目错误率有点高。“小明参加铅球比赛，铅球飞行的高度y与水平距离x之间的函数关系式为y=-■x2+■x+■，求小明这次掷铅球的成绩为多少？铅球出手时的高度是多少？”因为二次函数以往的许多练习题要我们算的都是抛物线截x轴的线段长和顶点坐标居多，所以不少学生也把掷铅球的成绩算成了抛物线截x轴的线段长，把铅球出手时的高度算成了抛物线顶点的纵坐标。这种错误就是由思维定式造成的。

4.学生的实际生活经验不足而产生的错误

对于初中学生而言，数学知识很多并非“新知识”，在他们的生活中会有许多与数学知识相关的经验。因为学生生活在信息丰富的社会里，无处不在的生活现象时时刻刻会进入他们的认知领域，成为他们的生活经验，并作为学习者原有经验的一部分构成进一步学习新知的“数学现实”。学生已有的数学知识或生活经验不足，就会引发数学学习的错误。例如，用一个铁圈在一个地球仪的赤道上围一圈，如果将其半径增加1米，则一共需增加m米长的铁丝；现假设在地球的赤道上用铁圈围一圈，同樣将其半径增加1米，共需增加n米长的铁丝。那么m与n的大小关系如何？在看到这道题目时，很多学生都会想到在实际生活中地球仪比地球小很多，因而认为n肯定比m大，但其实这是错误的思维。如果我们设地球仪和地球的半径分别为r和R则m=2π（r+1）-2πr=2π，n=2π（R+1）-2πR=2π，所以正确答案是m与n一样长。

二、以“错”为转折点，改进教学策略，提升思维品质

1.正视错误，包容学生“课堂出错”

俗话说：“失败是成功之母。”一节真实的课堂教学，学生不可能不出现错误，就因为有了这种、那种错误，才使我们的教学环节更精彩。学生在学习过程中，正确很可能是一种模仿，可错误绝对是一种经历，并且真实而自然。它是通往正确和成功的必经之路。作为教师要认可学生的错误，也允许学生出错，错误出现后，关键在于要让学生意识到错误，找到原因，以后避免犯同样的错误。有时学生的错误不可能单纯依靠下面的示范和反复练习得以纠正，而必须是一个自我否定的过程，因此，教师就必须帮助学生进行有意义的“自我否定”。教学中，我们这样告诉学生：“课堂是你出错的地方，不管是多么简单幼稚的问题，只要你敢提出来，就是好样的！”给学生制造一张营造宽松气氛、构建良好师生关系的“保险单”。在课堂上我们有几个允许：错了允许重答；答得不完整的允许再想；不同意见的允许随时争论……这张“保险单”使广大学生的自尊心得到了切实保护，人格得到了充分尊重。在这样的课堂上，学生没有答错题被老师斥责的忧虑，更没有被同学耻笑的苦恼，他们在民主的气氛中学习，思维活跃，敢说敢做敢问、勇于大胆创新，以健康向上的情感态度投入学习，师生间有了认识上的沟通和心灵上的对话，才会出现“忽如一夜春风来，千树万树梨花开”那样一幅生机勃勃、生动活泼的教育画卷。

【案例1】有一次学了幂的乘方后，我让学生计算：（-1）2016-23-（-3）2，我叫了一位后进生上来板演：（-1）2016-23-（-3）2解：原式=1-6-9=-14。他回座位的时候，好多学生在说：“错了错了……”他回到座位上很失落，耷拉着头。我发现他虽然错了但板书时也反复检查了好几遍，说明他也很希望能做对。为了尊重他的人格，不打击他学习的积极性，我先叫了一位班级里成绩和他不相上下的同学回答，凑巧这位学生居然也找不到他错在哪里。这时我发现他坐直了，眼睛看着我。于是我先对他的解题格式和（-1）2016能做对加以赞赏，并指出其他学生可能也不一定能做对，他顿时感到受宠若惊，更专注了。然后我让另一名学生对23的意义作解释，表示3个2相乘，再邀请他自己纠错，这之后这位学生在以后的课堂上专注多了，当然学习成绩也进步了。

其实，一些学困生在课堂上出差错是常见的现象，我们在教学过程中巧妙利用这些错误资源，不仅能增强他们学习数学的信心，还能给其他学生起到加深印象的作用，一举两得。

2.预设错误，提高学生思辨力

数学家波利亚说过：“错误中往往孕育着比正确更丰富的发现和创造因素，发现的方法就是试错的方法。”所以在教学中，教师可以在易错的环节中设置“陷区”，故意使学生“落入陷阱”，再引导学生“走出误区”，从而有助于学生巩固正确的解题思路和方法，培养学生思维的严谨性，预防错误的再次出现。

【案例2】在刚学完勾股定理第一课时后，一般会先出现一组简单的练习题来巩固公式：a2+b2=c2，而笔者在教学中则是先出示这样一道题：已知直角三角形一边长为3，另一边长为4，求第三边长。

学生一般会马上说出答案是5。理由∵根据题意可知，a=3，b=4，三角形又是直角三角形，∴第三边长c=■=■=5。

笔者没有说什么，只是分成小组，在小组内进行讨论：第三边长5到底对不对？为什么？

教师通过这样一讨论，一下子引起了学生的进一步思考：难道答案5有问题吗？为什么会有问题呢？他们只能去回顾老师在引入勾股定理这个公式时的一些场景。知道了“在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方”。当3和4是直角三角形的两直角边时，第三边长才是5，于是答案就有两种情况：

（1）当两条直角边为3，4时，则第三边为斜边等于5。

（2）当一条直角边为3，斜边为4，则第三边为直角边等于■。

我们知道，这个题目在许多考试中频频出现，而大部分老师在上课时一般先举一些常规题，如“在直角三角形中，两条直角边为3，4，求第三边长。”这样的题目反复强化训练以后，在学生的思维中占据了很大的成分，时间一长，形成了思维定式。再出一道题“直角三角形一边长为3，另一边长为4，求第三边长。”一般都会出错的，任凭教师作多么艰辛的解释，学生在下一次考试出错的几率依然很高。因为当时可能听懂了，但由于“先入为主”思维的影响，一段时间过后又忘记了。而笔者的做法避开了学生产生思维定式的条件，先打“预防针”，那么“犯病”的可能性就会大大降低。

3.捕捉错误，培养学生思维品质

随着课程改革和课堂的开放，学生在自主学习、探究学习、小组合作学习中，质疑、争论、反驳的机会大大增强，随之出现的信息量也大增，师生、生生在交流互动的过程中，出错是不可避免的。教师要善于及时捕捉错误，把错误当作难得的生成资源加以开发利用，将错就错地引导和化解，那么课堂就会碰撞出智慧的火花。

【案例3】在“用字母表示数”一课的教学中，出示题目：“一辆长途客车上有乘客a人，途中下车15人，又上车18人，这时车上还有几人？”其中我不小心把问题“这时车上还有几名乘客？”误写成“这时车上还有几人？”片刻后，许多学生报出答案为（a+3）人，我便追问：怎么做？大部分学生是通过列式计算或直接观察上下车人数差而得。我及时肯定了学生的想法，话音刚落。生1：我有不同意见。条件中说的是乘客，而问题中说的是车上有多少人？那么就应该再加上司机和售票员，这样车上应该有（a+5）人。此时我才发现自己写错了问题，刚想改正，又有学生发言了。生2：也不一定呀！现在许多车子是无人售票，这时车上应该有（a+4）人。生3：老师，这题有3种答案，我们该怎么办？我将错就错，发自内心地表扬他们。师：你们真棒，想得非常完整。以后做作业或考试，只要你写清楚了，每种都对。没想到此次错誤，错的那么有价值，开拓了学生的思维。

【案例4】如教学“平行与相交”后，单元练习中出现这样一道选择题：“在同一平面内，两条直线的位置关系有（ ）A.相交与垂直，B.垂直与平行，C.相交与平行。结果发现学生的答案大体分成两大派，有选B的，也有选C的。评讲时，我没有直接评价对错，而是让学生针对自己的选择开展小小的“辩论赛”，必须用有力的数学语言证明自己的选择是正确的。同学们跃跃欲试、斗志昂扬，他们开展了激烈而深入的思考辨析活动。选择B的论证是：“两条直线互相平行就是不相交的，而两条直线互相垂直时就相交了。”选择C的马上反驳道：“两条直线的位置关系要么相交要么不相交，互相平行就是不相交，而相交里面不仅仅是互相垂直，还有一种一般相交的（跑上来在黑板上画出了这种情况），垂直只是其中的一种情况，如果选B的话，就把一般相交这种情况丢掉了”……在听了双方的辩论之后，我让学生再一次选择，结果刚才选B的同学纷纷“投降”了。可见，让学生经历错误又何妨？学习是从问题开始的，甚至是从错误开始的。

在这一教学过程中，教师没有轻易地否定学生出现的错误，而是让学生充分地展示了思维过程，把解决问题的主动权还给学生，引导他们比较、思辨，体验知识的内在联系与区别，深化知识的内在本质。

4.暴露错误，培养学生的发现意识

俗话说：“金无足赤，人无完人。”在学习中出错是难免的，当学生出错时，教师不要急于指出错误，说明正确答案。如果直接给出正确答案，可能造成学生一听就懂，一过就忘，一用就错。若教师把学生的错误暴露出来，让学生自我发现错误，并找到致错的原因，可以充分发挥学生在学习中的主体作用。暴露错误自我发现是学生对自己错误的一种反思，同时也是教师对自己教学的一种反思。从心理学的角度来说，反思是一种主动“再认识”的过程，是思维的高级形式。课堂教学中积极培养学生的反思习惯，让学生在自我发现的过程中，放松思维，体验成功。

【案例5】学生在学习解一元一次方程时，我发现许多学生解方程总是解不对，我把学生在平时做错的解方程题一一作了记录，并总结归纳出了学生在解含有分母的方程时主要出现如下错误：（1）漏乘；（2）去括號时符号出错；（3）去分母时忘记加上括号；（4）分配律使用时，分配不公。我针对以上问题，设计了下面的题目。

判断下列解方程的过程是否正确？说出错误原因并订正。

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学生对于这些错误表现得有点害怕、讨厌、不喜欢，没有头绪。他们感到似对非对，很不自信。我从学生的心理因素入手，先给他们充足的时间思考，让学生自己找错，再分小组让学生评析产生错误的原因。学生各抒己见，很快就找到了原因并进行了订正。我没有就此打住，教育学生应把粗心的原因去掉，体现错题的价值所在，告诉他们学会从错题中找到知识漏洞，避免下次再犯。使学生在自我发现错误的过程中总结经验，养成良好的学习习惯。

这节课我始终围绕错误展开，并时时关注学生的心理变化，让学生在纠错改错、自我发现的过程中感受学习的成功和快乐。

5.反思错误，师生共同提高

美国心理学家波斯纳曾提出成长的公式是：经验+反思=成长。没有反思的经验是狭隘的经验，只能形成肤浅的知识，学习需要反思，没有反思的学习是不可能深刻的。在平时的教学中，大部分老师都有一种感受，同一类型题，甚至同样一道题，做了好几遍，但过段时间再拿来做，还是有很多学生会做错。究其原因，就在于学生对已出现的错误，只会订正，不会反思，也没有反思的习惯，从而不清楚自己的错因，以至于在往后的做题中一错再错。针对这种情况，“纠错本”是不错的选择。

“纠错本”是实实在在的错误的整理、解题的反思、方法的积累。教师要引导学生将错题摘抄到“纠错本”上，在出错的地方进行标注，并将正解用红笔写在一旁，详细分析错误的原因，还要求学生定期翻看自己的错误反思，不断地总结反思，感悟新方法，达到自主建构数学知识和思维方法的目的。不仅学生要准备纠错本，教师也要准备一本纠错本：教师每批改一次作业或试卷，都要对学生中的典型错题做摘录，整理在教师自己的纠错本上。

例如下面是教师纠错本的某一页：

解方程2x-■=0.4-■

错解1：2x-■=0.4-■

错解2：20x-■=4-■

错解3：2x-■=4-■…

分析：在解分母中含有小数的一元一次方程时，应先利用分数的基本性质将小数分母转化为整数分母，而此时要与利用等式的基本性质去分母加以区分，不能混淆。

试行此教学研究后，对学生的错误有了系统的记录，整理有了第一本资料，在教学方式上可以及时调整，对症下药，有的放矢，教师从题海战术中解脱出来，同时也减轻了学生的负担，减少了自己的压力，使自己有更多的时间与机会真正准备好每堂课。

当前，不少人都认为，现在的课难上，在没有教学前，有些学生的错误是你根本预料不到的。因此，当课堂上出现来不及处理的错误时，教师需要在课后认真反思，尤其是带有普遍性的错误。大面积学生的错误在一定程度上折射出教师教学方法的偏差。反思是为了更好地解决教学中的失误，寻找存在的问题，发现留下的遗憾，这是教师自我教育、不断成长的最佳途径，从而追求教学水平的提升、完善，最终形成自己独特的教学风格。

总之，在新课程的数学课堂教学中，我们时时都会遭遇“错误”的伏击。教师应用资源的眼光看待学生的错误，精心预设错误，筛选错误，充分利用学生在学习中出现的错误，因势利导，变“错误”为重要的学习资源，物尽其用，以“错”治“错”，变“废”为“宝”，使课堂因错误而更加精彩、更加有效。使学生和教师一起在“纠错”“思错”“改错”的过程中不断进步，并在一定程度上减轻学生的学习负担和教师的教学负担。

参考文献：

[1]张久仁.初中数学教学中易错问题探究[J].数理化解题研究，2016（32）.

[2]沈佳艳.善用错题资源提升初中科学解题能力[J].数理化解题研究，2016（23）.

[3]黎美艳.浅谈小学数学课堂教学中错误资源的有效利用[J].教学参考，2011（10）.