透过现象看本质

陆红梅

【摘要】小学数学中有许多经典题型，如“工程问题”“追及问题”“相遇问题”“鸡兔同笼问题”等，这些典型问题不仅能考查学生对相关知识的掌握情况，也能检测学生运用知识的灵活度和变通能力，所以在各级各类试卷中出现的频率非常高。非但如此，此类题目总是以不同的“面貌”出现，虽然无非是“换汤不换药”“新瓶装旧酒”，但是，经过一定的“易容术”后，极具迷惑性。因此，如何让学生多长个“心眼”，迅速辨识其本质，显得十分重要。

【关键词】经典题型 变式 本质 规律 辨识

一次期末测验，有这样一道题：

甲、乙两支施工队开凿一条隧道，甲队单独施工需要天，乙队单独施工需要天，如果甲、乙两队同时施工，多少天后隧道还有一半没有打通？

结果，学生中大部分对工程问题很精通的“老司机”也栽在这道题目上，错误率高达60%。细细捋一下这些错误，两种犯错情况占主流：

（1）（1-）÷（+）=（天）

（2）÷（+）=（天）

其實，这是一道难度系数不高的工程问题，主要考查工作时间、工作效率、工作任务量三者之间的数量关系。只有搞清每一步所求的问题与条件之间的关系，才能选择正确的数量关系解答。

一、卸下“伪装”条件，恰当取舍信息

如果学生将以往的题型范式带入到审题印象中，一见到“合作施工”问题，就想当然地照搬照套固有公式，必然会误入歧途，陷入迷局。上题中的错误就是因为部分学生没有仔细甄别、区分经过“伪装”的条件，盲目套用“1÷（+）”这个原始公式导致的。我们应该要求学生在解题时谨慎考虑惯性思维，是不是高度契合当前的题目要求，对学生列出的算式“（1-）÷（+）=（天）”及时进行纠偏，诱导学生反思，将学生从误区中抽离出来，将问题指向学生潜意识疏漏的角落，使其知其然，并知其所以然。这对于激发学生自主探究，提高学生观察的敏锐性、洞见性、警觉性至关重要。

此题中“伪装”的条件有：将甲、乙两个施工队单独打通隧道所需时间数由常态下的“整数”改为分子是“1”的“分数”，然后把习惯性的“完工”改为“完成一半”。

卸下这些“伪装”，我们仍然可以透过现象看本质，死死抓住“工作任务÷工作效率=工作时间”这个“母公式”以及由此衍生出的一些“子公式”——“工作总任务÷单干工作效率=单干工作时间；工作总任务÷合作工作效率=合作工作时间；部分工作任务÷工作效率=部分工作时间”等求出正确解答。

仍然把抽象的工作总量设为单位“1”，先分别求出甲、乙两队单独施工时的工作效率，也即是甲、乙两队一天能完成的作业量，然后将两队工作效率进行数据叠加，即可得出合作时的工作效率，最后求出还有一半隧道没有打通时所用的时间。正确算式为：（1-）÷（1÷+1÷）=（天）。

二、破解表象，认识问题本源

这类经典问题（工程问题）的教学，常规方法是通过对课本上一些具有代表性的简单例题的分析，归纳出一个解题模式，形成初步印象，积累一些不成熟的经验。然后学生依照模式解题，来应对一切“工程问题”，致使学生把非本质的特征误认为本质特征，甚至根本抓不住本质属性，无所适从。这次抽检中，不少学生就把题目中提供的工作时间误解为工作效率，将重要数据张冠李戴、颠三倒四，引发思维混乱。工作时间这个关键数量，在经验题型的表述中，通常为整数“m”，然后除工作总量“1”得“”。如果在我们的日常教学中能向学生提供足够多的变式题型，进行充分的变式训练，引导学生认识到多种变式的可能，就可以有效促使学生掌握本质属性。

仍以本题为例：甲、乙两个施工队单独打通隧道所需时间，可以是整数，也可以是分数和小数，甚至可以是带分数、假分数。这样可以让学生明确工作效率中的m、n可以是不同的数据。解题时，欲求甲、乙两队的工作效率则必须将1分别除以m、n。大多数变式题与原型题大体一样，只是题目中的个别条件发生了形式上的改变。关键时刻，我们一定要心细如尘，明察秋毫，看清每一句提示，可以做上记号，通过观察、对比、分析、推理、综合，审清题目给的条件和要求。

三、审视答案，发现可疑线索

解答完毕后，要养成认真检查的好习惯，确保解答的完整性和正确性。

检查绝不是简单地复核答案，查验演算是否正确，步骤是否到位，对于变式题型，检查更重要的是意味着，要从数据、事理、算理、常识等几个方面来仔细核查答案的合理性。同时，也能从小培养学生的自主架构能力。

上述错题中的错误结果天，明显可以看出，因为>÷2=，>÷2=。这显然是违背常识的，因为合作施工完成工程量耗时比任何一方单独施工完成同样多的任务量还要长，这是不可能的。如果学生对答案加以检验，或者估算一下，就能觉察到解题结果是有纰漏的。学生在验算中，经常“反思、反问、反省”，不仅可以保证解答的正确性，而且可以进一步厘清题中的数量关系，找出错误的原因，调整解题思路，巩固和提高解题能力。

因此，笔者认为在以后的教学中，这些问题应该引起我们的足够重视，如果能够从以上三个方面指导教学，就可以收到预期的效果。教师要随时观察学生的学习动向，找准不良症状，及时把脉问诊，特别是在面对经典题型的变式问题时，更应该未雨绸缪，在遇到变式前，多提供变式训练，增强“免疫力”，打好“预防针”。?