基于分数布朗运动的亚式期权定价

潘娣

摘要：给出了分数布朗运动下的几何平均亚式期权定价的数学模型，通过热传导方程得到了亚式期权价值的解析表达式。利用数值算例讨论了：赫斯特指数、无风险利率及敲定价格对期权价值的影响.

关键词：亚式期权；分数布朗运动；数值算例

中图分类号：F830 9；O211 文献识别码：A 文章编号：1001-828X（2017）010-0-02

引言

期权是指以确定的价格在确定的时间购买或出售确定数量的其标的资产的权利。在期权合约中，确定的价格为敲定价格，确定日期为到期日。而看涨期权指在一定的时间以确定的价格购买某项资产的权利，看跌期权则表示卖出该资产的权利。

1973年，Black， Scholes[1]和Merton[2]推导出了古典的Black-Scholes模型，他们设金融衍生产品价值V（St，t）满足如下的方程

这里St表示股票在t时刻的价格，σ为波动率，r为市场中的无风险利率。在模型求解中，结合了终值条件V（ST，T）=max（ST-K，0），其中D为执行价格，T为到期日，那么得到欧式看涨期权价值的解析表达式[1]

N（x）为累积标准正态分布函数。Fama[3]在1965年指出，资产价格具有长期依赖性，由于分数布朗运动是连续的高斯过程，有长期依赖性，所以它能够更精确的描述出金融资产的变化。

Rogers[4]发现分数布朗运动路径积分理论下的市场存在着套利机会。2003年，Hu和Oksendal[5]推导出了分数Girsanov公式（情形）和分数公式，并验证了此积分对应的市场没有套利机会。

亚式期权是一张期权合约，它在到期日的收益依赖于整个期权有效期内的资产价格的平均值，这种路径依赖型期权不仅减少了价格变动所带来的影响，也可以准确的反映股票价格变化的趋势，根据计算亚式期权价格方法的不同，可以分为算术平均亚式期权和几何平均亚式期权，根据到期日收益的不同，可以分为固定敲定价格和浮动敲定价格两类。

一、亚式期权价值的数学模型

假设（H1）标的资产价格St满足如下随机微分方程

这里μ和σ都为常数，分别表示资产的预期收益率和波动率，为的分数布朗运动；（H2）投资组合的期望回报率与无风险利率相等；（H3）不存在无风险套利机会；（H4）证券是连续交易，不存在红利、税收且不需支付交易费用。

设几何平均亚式看涨期权在t时刻的价值为V=V（t，Jt，St），其中为标的资产价格在上的几何平均值. 构造一个投资组合：1份几何平均亚式标的资产看涨期权多头、份标的资产

令那么我们可以得到下面的亚式期权价值的数学模型，

定理2.1假设标的资产价格St满足分数布朗运动（2.1），则执行价格为K、到期日为T的几何平均亚式看涨期权在时刻的价值满足如下数学模型：

二、模型求解

定理3.1假设标的资产价格满足（2.1），则执行价格为K、到期时间为T的几何平均亚式看涨期权在t时刻的价值为

证明 由定理2.1可知，几何平均亚式看涨期权在时刻的价值满足模型（2.6）。令

根据热传导方程经典解理论[6]，（3.1）式的解可写为

三、数值算例

本节将利用定理3.1的定价公式进行数值实验。我们设一只标的资产为股票的欧式亚式期权的股票价格服从（2.1）公式中的分数布朗运动。规定其标的股票价格为80元，执行价格为80元，一年到期，年波动率为0.4，无风险利率为0.05. 即：

图4.1给出了不同的无风险利率下亞式看涨期权价值的变化图。因为实际情况下的利率的变化很微小，所以为了图像的区分度，我们选取的4组利率值变化较大。由图可以看出，随着利率变大，看涨期权的价值也在变大，因为无风险利率的增大会使得标的资产价格在到期日的期望收益变大。从图4.2我们可以看出，敲定价格与涨期权价值成反比，即看涨期权的价值随着敲定价格的递增而减少。

图4.3

图4.3给出了不同赫斯特指数下标的资产价格与亚式看涨期权价值的关系，由图可知，随着赫斯特指数的增大，看涨期权价值在变小。

四、结语

本文主要运用证券组合技术和无套利原理，研究了分数布朗运动下的亚式期权定价问题。应用热传导方程对该模型进行求解，得到了亚式期权价值的解析表达式，通过数值算例得出各参数对亚式期权的价值都有影响。

参考文献：

[1]Black F， Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities[J]. Journal of Political Economy， 1973， 81： 637-659.

[2]Merton M C. Theory of rational option pricing[J]. Journal of Economics and Management Science， 1973， 4： 141-183.

[3]Fama E. The behavior of stock market prices[J]. The Journal of Business， 1965， 38： 34-105.

[4]Rogers L C G， Shi Z. The value of an Asian option[J]. Journal of Applied Probability， 1995： 1077-1088.

[5]Hu Y， ?ksendal B. Fractional White Noise Calculus and Application to Finance[J]. Infinite Dimensional Analysis， Quantum Probability and related Topics. 2003， 6： 1-32.

[6]Necula， C. Option pricing in a fractional Brownian motion environment[J]. Academy of Eco- nomic Studies Bucharest， Romania， Preprint， Academy of Economic Studies， Bucharest， 2002， 27： 8079-8089.

基金项目：安徽三联学院平台基金重点项目，项目号：PTZD2017004。