“牛顿问题”的归纳及推广初探

邹军文

摘 要：在“牛顿问题”的计算中，通过计算消耗原量、消耗品单位时间增加（减少）的数量、第三次主体量、第三次消耗时间四者之间的关系，使土地利用率尽可能最大化，也可以用于其它资源或时间、空间的运算使利益最大化。

关键词：“牛顿问题” ；转化；统一

中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：1673-9132（2017）17-0034-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2017.17.019

一、发现并提出问题

现在环境保护已经成为世界性的问题，人们在日益关注环境的同时，也在关注着如何进行土地保护和提高土地的利用效率。

畜牧业作为用地较多的行业，在与圈地运动高潮同时期的英国伟大的科学家牛顿在其著的《普通算式》中曾编过这样一道题：12头牛4周吃草3格尔，同样的牧草21头牛9周吃10格尔。问24格尔牧草多少头牛18周能吃完（格尔为牧场面积单位）？（以后人们称这类“牛吃草”的问题叫做“牛顿问题”）。这道题从经济角度上讲，初步提出了人地矛盾的关系，而在数学上，也不失为一道经典题目。

二、建立数学模型

我先从几道基础经典题型来寻找解决方法。

例1. 牧场上有一片青草，每天匀速生长，这片青草可供24头牛吃6周，18头牛吃10周，问可供19头牛吃几周？

分析与解答：解题关键是先求出原有的草量和每周新长出的草量。

从题意可知，18头牛吃10周的总草量比24头牛吃六周的总草量多，多出的部分就是1016=4（周）新长出的草量。为了求出每周新长出的草量，我先假设1头牛1周吃的草量为1份，那么24头牛吃6周的草量为24×6=144（份），18头牛吃10周的草量为18×10=180（份），则4周新长出来的草量为1801144=36（份），每周新长出来的草量即为36÷4=9（份），因此可以用14419×6或18019×10求出原有草量为90份。有了原有草量和每周新长出的草量，就可以很快解答。

解答过程如下：

假设每一头牛一周的吃草量为1份。所以24头牛共吃草24×6=144（份），18头牛18×10=180（份），每周新长出长草量为：（180-144）÷（10-6）=9（份），原有的草量为：144-9×6=90或 180-9×10=90。每周新长草9份可以安排9头牛吃一周，因此其作10头牛吃原来的草，所以19头牛吃完的周数为90÷（1919）=9（周）。

答：可供19头牛吃9周。

例2. 一块草地，可供12头牛吃12天，15头牛吃8天。如果草能匀速生长，那么这块草地可供多少头牛吃6天？

分析与解答：因为已经有第一题铺垫，所以草地每天生长量为：（12×12-15×8）÷（12-8）=6（份）原有草量為：12×12-6×12（或15×8-8×6）=72（份），现在缺失条件，所以改变思路，原有草量6天可以供牛72÷6=12（头），每天新长出的草6份相当于可供6头牛，所以一共可以养牛12+6=18（头）。

答：这块草地可供18头牛吃6天。

例3. 12头牛4周吃草3格尔，同样的牧草21头牛9周吃10格尔。问24格尔牧草多少头牛18周能吃完（格尔为牧场面积单位）？

这就是所谓的“牛顿问题”。

分析与解答：前两道题都只有1块草地，而此题的这一条件被打破，出现了3块草地，我们需要把3块草地的面积统一起来。

已知3块草地面积的最小公倍数为[3，10，24]=120，所以可以做出如下转换：

第一块3格尔的牧草，12头牛在四周内吃掉，因为120÷3=36，所以即120格尔的牧草可供12×36=432（头）牛吃四周。

同理可得，第二块10格尔的牧草，即为120格尔的牧草可供21×12=252（头）牛吃9周。第三块24格尔的牧草，即为求120格尔的牧草可供多少头牛吃18周。至此，此题与例2基本相同，计算可知为180头，因为120÷24=5，所以24格尔的牧草可供180÷5=36（头）牛吃18周。

例4. 有一块牧场长满了牧草，每天牧草匀速生长。这块牧场的草可供17头牛吃30天，也可供19头牛吃24天，现在有一些牛在这块牧场上吃草，6天后，其中4头牛被卖了，余下的牛用2天时间将牧场上的草吃完。问：开始有多少头牛在吃草？

分析与解答：前三道题在最后需要解答的情况中，牛数都是不变化的，在第3题中解决了初始值不同的问题，而在此题中，牛数却发生了变化，我们先求可牧草每天新长出的数量（17×30-19×24）÷（30-24）=9（份），牧场原有草量17×30-9×30（或19×24-9×24）=240（份），最后我们可以采用假设法：假设4头牛没有被卖掉，则共吃了240+9×8+4×2=320（份），所以开始有牛320÷8=40（头）。

答：刚开始有40头牛在吃草。

三、反思

通过上述分析，理论上可以用来解决如下问题：刚开始有一个消耗原量，这个量会以一定的速度匀速增加或减少，有多个主体，以一个恒定的消耗速度消耗，独立作用于消耗原量，直至在一定时间内消耗完毕。基本的运算步骤如下：

第一步，从题目中提取第一次主体量a和消耗时间A， 第二次主体量b和消耗时间B。第三次主体量c，消耗时间为C。

第二步，判断题目中所给定情况中的消耗品初始值Q是否一致，如果是，令P=Q，进行第四步；否则，计算给定初始值Q1，Q2，Q3的最小公倍数P后进行第三步。

第三步，计算a1= P÷Q1×a， b1=P÷Q2×b。

第四步，得出消耗品单位时间增加（减少）量D=∣Aa-Bb∣÷∣A-B∣或D=∣Aa1-Bb1∣÷∣A-B∣。

得出消耗品原来数量M=Aa1AD或M=Bb1BD。

若初始值不同，则用a1，b1计算。

第五步，计算第三次消耗时间C=M÷（c1-D）或第三次主体量c=M÷C+D。

第六步，考虑倍数关系，回归原题，结束运算。

四、实用价值

在“牛顿问题”的计算中，通过计算消耗原量、消耗品单位时间增加（减少）的数量、第三次主体量、第三次消耗时间四者之间的关系，使土地利用率尽可能最大化。也可以用于其它资源或时间、空间的运算使其价值最大化。

不过，以上的结论都是在一个理想化的环境中运行的结果，在实际中的运用要考虑更多方面的因素。

参考文献：

[1] 马永红."牛顿问题"分数解法的补充[J].中小学数学（小学版），2015 （1） ：87.

[2] 范有根.巧解牛顿问题[J].数理化解题研究：初中版， 2008（4） ：11- 12.

[责任编辑 房晓伟]