天体密度求解再归纳

【摘要】在万有引力与航天中，求解天体密度属于常见题型，一般情况都是利用环绕天体的运动学参量和轨道半径求解中心天体质量，再加上中心天体的半径即可求出天体的密度。而有些情况下，若能知道环绕天体的周期和环绕天体轨道半径与中央天体半径的关系，即可求出中心天体的密度；利用自转周期和自转带来的影响也可求解中心天体的密度，下面对这些特殊情况下天体密度的求解再归纳。

【关键词】万有引力 周期 中心天体 密度 自转

【中图分类号】G633.7 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）20-0183-01

一、一个周期和一个关系测天体密度

一个周期指环绕天体的周期，一个关系指环绕天体的轨道半径与中央天体半径的关系。

例1.已知月球绕地球轨道半径约为地球半径的60倍，月球绕地球的公转周期为27天，已知引力常量G=6.67×10-11N·m2/kg2，试估算地球的平均密度。

解析：设地球半径为R，即月球绕地球的轨道半径约为60R。

=m（ ）260R

ρ=5.5×103kg/m3

例2.（2014广东高考改编）如图所示，飞行器P绕某星球做匀速圆周运动，它的环绕周期为T，星球相对飞行器的张角为θ，已知引力常量为G，求该星球的平均密度。

解析：本題给出星球相对飞行器的张角θ，其实就给出了星球半径和轨道半径的关系，设星球半径为R，轨道半径为r。

=m（ ）2r

M=ρ· πR3

rsin =R

联立上式可得ρ=

二 、以星球自转为背景测天体密度

例3.（2014新课标II卷改编）如果在一个星球上，宇航员为了估测星球的平均密度，设计了一个简单的实验：他先利用手表，记下一昼夜的时间T；然后用弹簧测力计测一个砝码的重力，发现在赤道上的重力为两极的90%。引力常量为G，试写出该星球平均密度的估算表达式。

解析：这里T为星球的自转周期，正是自转导致了赤道处重力与两极处重力的差异，两极处物体所受的重力等于万有引力，赤道处物体做圆周运动的周期等于地球的自转周期T，设星球密度为ρ，半径为R，以赤道处物体为研究对象。

-0.9 =m R

Gρ π-0.9Gρ π=

ρ=

例4. 中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。现有一中子星，观测到它的自转周期为T= s，引力常量G=6.67×10-11N·m2/kg2，问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星球的稳定，不致因自转而瓦解。

解析：由于星球自转周期过短，导致赤道处物体率先脱离地表成为近地卫星，本题实际上研究的是近地卫星，知近地卫星的周期和万有引力常量求中心天体的密度。

=m R

Gρ =

ρ=

代入数据解得ρ=1.27×1014kg/m3

总结：无论是知道环绕天体半径与中心天体半径的关系，还是地球自转带来的影响，其本质与常规测天体密度原理一致，只是在处理过程中，半径被约去了，此类问题的条件隐蔽性较强，希望学生在处理过程中不要被物理情景蒙骗，而应正确分析研究对象，运用常规方法解决问题。

作者简介：

王谋军（1980.05-），男，本科，安徽六安人，职称：中一。