“一题多变”在教学中的应用
2017-06-14林素平
林素平
【摘要】“一题多变”相信对于许多教师而言,都是不陌生的词语,并且我们教师经常在课堂上广泛地运用。一题多变侧重点在于对某个问题或某类问题进行多角度、多方位、多层次的探究,可以极大地帮助了对学生发散思维的培养,也提高了学生学习效率,同时也为创新提供了帮助。
【关键词】一题多变 效率 发散思维
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089(2017)20-0119-02
教师是学生学习的领路人之一,在教学实践中占主导作用,在课堂上如何去“导”占主体地位的学生进行高效地学习,经常是教师们探讨的热门话题。著名教育家陶行知先生说过:“我以为好的先生不是教书,不是教学生,乃是教学生学”;因此我们的教学重点是培养学生的思维能力,而且我们教师也经常在教学中一点一滴的有意识地做。
教学中,“一题多变”是学生发散思维培养的一种有效方法之一,进行适当的一题多变,可以帮助学生打破思维定势,培养学生的发散性思维。课堂教学中,教师在引导学生解题时多进行变式训练是极有必要的,它能带来诸多益处。
下面是学生对在课堂上遇到“直线到底有多少条” 的例题及其变式题的做法。
例1 过点M(2,1)的直线l与x轴、y轴分别交于P、Q两点,O为原点,且S△OPQ=4,则符合条件的直线l有 ( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
【解答】解:设直线l的方程为:y-1=k(x-2),则P(2- ,0),Q(0,1-2k).
∴S△OPQ=4= 2- 1-2k,化为: -4=±8,
化為:4k2-12k+1=0,4k2+4k+1=0,
解得k= ,或k=- .
因此符合条件的直线l有3条。
故选:C.
例2过点M(2,1)的直线l与x轴、y轴分别交于P、Q两点,O为原点,且S△OPQ=8,则符合条件的直线l有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
学生这时很有疑问了,难道这种题型有规律?
答案是肯定的,根据上面的解法很快地得出结论符合条件的直线有4条,学生这时又想,何时满足条件的直线是2 条,3条,4条?有没有可能出现1条或不存在直线的情况?同学的学习好奇心现已被我们调动,我们老师趁热打铁说我们来研究一下,先画画图,如图:
连结OM为直线l,当l分别按逆时针和顺时针旋转至m和n时,直线与坐标轴所围成的面积从0逐渐增加至无穷大,因此,无论直线与坐标轴所围成的面积是多少,所求的直线至少有两条,且k>0,当k<0时是否有直线满足条件?
【解答】解:设直线l的方程为:y-1=k(x-2),则P(2- ,0),Q(0,1-2k).
∴S△OPQ= 2- 1-2k,化为: -4=-2S,
化为:4k2+(2S-4)k+1=0,
当△=(2S-4) -16=0k1+k2=- <0,k1·k2= >0方程只有一个负根,此时k<0的满足条件的直线有一条,因此符合条件的直线一共有3条。
当△=(2S-4) -16>0k1+k2=- <0,k1·k2= >0即S>4时,方程有2个不等的负根,此时k<0的满足条件的直线有2条,因此符合条件的直线一共有4条。
学生这时想探究,过一点M(a,b)其中a≠0,b≠0的直线l,与坐标轴围成的面积为S的直线到底有多少条?
【解答】解:设直线l的方程为:y-b=k(x-a),
则p(a- ,0),Q(0,b-ak)
∴S△OPQ= a- ·b-ak=S
化为: =±2S,
化为:a2k2-(2S+2ab)k+b2=0(1)或a2k2+(2S-2ab)k+b2=0 (2)
由(1)得△1=(2S+2ab)2-4a2b2=4S(S+2ab)
由(2)得△2=(2S-2ab)2-4a2b2=4S(S-2ab)
①当ab≥0时,△1>0,方程(1)有两个不等的实根
当S>2ab时,△2>0,方程(2)也有两个不等的实根
即当S>2ab≥0时,此时满足条件的直线有4条
当S=2ab,△2=0,方程(2)也有两个不相等的实根,此时满足条件的直线有3条
当0
②当ab≤0时,△2>0,方程(2)有两个不等的实根
当S>-2ab时,△1>0,方程(1)也有两个不等的实根
即当S>-2ab≥0时,此时满足条件的直线有4条
当S=-2ab时,△1=0,方程(1)也有两个不相等的实根,此时满足条件的直线有3条
当0
综上所述,满S>2ab时,满足条件的直线有4条
当S=2ab时,满足条件的直线有3条
当S<2ab时,满足条件的直线有2条
这样,教师通过引导学生探究直线有多少条,对题目进行一题多变,得到一系列“新”的题目,充分调动学生探讨问题的求知欲,找到归纳一类问题解题方法与技巧,提高学生对学习的积极性和主动性,同时也提高了学生学习的效率和自主探究能力,教师提高了课堂教学效率,也培养学生思维的探索性。
参考文献:
[1]李学数《数学和数学家的故事》第一册 P10
[2]上海科学技术出版社 发行时间: 2005年01月01日