“一题多变”在教学中的应用

林素平

【摘要】“一题多变”相信对于许多教师而言，都是不陌生的词语，并且我们教师经常在课堂上广泛地运用。一题多变侧重点在于对某个问题或某类问题进行多角度、多方位、多层次的探究，可以极大地帮助了对学生发散思维的培养，也提高了学生学习效率，同时也为创新提供了帮助。

【关键词】一题多变 效率 发散思维

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）20-0119-02

教师是学生学习的领路人之一，在教学实践中占主导作用，在课堂上如何去“导”占主体地位的学生进行高效地学习，经常是教师们探讨的热门话题。著名教育家陶行知先生说过：“我以为好的先生不是教书，不是教学生，乃是教学生学”；因此我们的教学重点是培养学生的思维能力，而且我们教师也经常在教学中一点一滴的有意识地做。

教学中，“一题多变”是学生发散思维培养的一种有效方法之一，进行适当的一题多变，可以帮助学生打破思维定势，培养学生的发散性思维。课堂教学中，教师在引导学生解题时多进行变式训练是极有必要的，它能带来诸多益处。

下面是学生对在课堂上遇到“直线到底有多少条” 的例题及其变式题的做法。

例1 过点M（2，1）的直线l与x轴、y轴分别交于P、Q两点，O为原点，且S△OPQ=4，则符合条件的直线l有 （ ）

A.1条 B.2条 C.3条 D.4条

【解答】解：设直线l的方程为：y-1=k（x-2），则P（2- ，0），Q（0，1-2k）.

∴S△OPQ=4= 2- 1-2k，化为： -4=±8，

化為：4k2-12k+1=0，4k2+4k+1=0，

解得k= ，或k=- .

因此符合条件的直线l有3条。

故选：C.

例2过点M（2，1）的直线l与x轴、y轴分别交于P、Q两点，O为原点，且S△OPQ=8，则符合条件的直线l有（ ）

A.1条 B.2条 C.3条 D.4条

学生这时很有疑问了，难道这种题型有规律？

答案是肯定的，根据上面的解法很快地得出结论符合条件的直线有4条，学生这时又想，何时满足条件的直线是2 条，3条，4条？有没有可能出现1条或不存在直线的情况？同学的学习好奇心现已被我们调动，我们老师趁热打铁说我们来研究一下，先画画图，如图：

连结OM为直线l，当l分别按逆时针和顺时针旋转至m和n时，直线与坐标轴所围成的面积从0逐渐增加至无穷大，因此，无论直线与坐标轴所围成的面积是多少，所求的直线至少有两条，且k>0，当k<0时是否有直线满足条件？

【解答】解：设直线l的方程为：y-1=k（x-2），则P（2- ，0），Q（0，1-2k）.

∴S△OPQ= 2- 1-2k，化为： -4=-2S，

化为：4k2+（2S-4）k+1=0，

当△=（2S-4） -16=0k1+k2=- <0，k1·k2= >0方程只有一个负根，此时k<0的满足条件的直线有一条，因此符合条件的直线一共有3条。

当△=（2S-4） -16>0k1+k2=- <0，k1·k2= >0即S>4时，方程有2个不等的负根，此时k<0的满足条件的直线有2条，因此符合条件的直线一共有4条。

学生这时想探究，过一点M（a，b）其中a≠0，b≠0的直线l，与坐标轴围成的面积为S的直线到底有多少条？

【解答】解：设直线l的方程为：y-b=k（x-a），

则p（a- ，0），Q（0，b-ak）

∴S△OPQ= a- ·b-ak=S

化为： =±2S，

化为：a2k2-（2S+2ab）k+b2=0（1）或a2k2+（2S-2ab）k+b2=0 （2）

由（1）得△1=（2S+2ab）2-4a2b2=4S（S+2ab）

由（2）得△2=（2S-2ab）2-4a2b2=4S（S-2ab）

①当ab≥0时，△1>0，方程（1）有两个不等的实根

当S>2ab时，△2>0，方程（2）也有两个不等的实根

即当S>2ab≥0时，此时满足条件的直线有4条

当S=2ab，△2=0，方程（2）也有两个不相等的实根，此时满足条件的直线有3条

当0

②当ab≤0时，△2>0，方程（2）有两个不等的实根

当S>-2ab时，△1>0，方程（1）也有两个不等的实根

即当S>-2ab≥0时，此时满足条件的直线有4条

当S=-2ab时，△1=0，方程（1）也有两个不相等的实根，此时满足条件的直线有3条

当0

综上所述，满S>2ab时，满足条件的直线有4条

当S=2ab时，满足条件的直线有3条

当S<2ab时，满足条件的直线有2条

这样，教师通过引导学生探究直线有多少条，对题目进行一题多变，得到一系列“新”的题目，充分调动学生探讨问题的求知欲，找到归纳一类问题解题方法与技巧，提高学生对学习的积极性和主动性，同时也提高了学生学习的效率和自主探究能力，教师提高了课堂教学效率，也培养学生思维的探索性。

参考文献：

[1]李学数《数学和数学家的故事》第一册 P10

[2]上海科学技术出版社 发行时间： 2005年01月01日