弱S-嵌入子群与有限群的p-幂零性

郭桂容，赵 涛，陈云坤

(1.贵州商学院基础部，贵州 贵阳 550014；2.六盘水师范学院数学系，贵州 六盘水 553004；3.山东理工大学理学院，山东 淄博 255049；4.贵州师范大学数学科学学院，贵州 贵阳 550001)

弱S-嵌入子群与有限群的p-幂零性

郭桂容1，2，赵 涛3，陈云坤4

(1.贵州商学院基础部，贵州 贵阳 550014；2.六盘水师范学院数学系，贵州 六盘水 553004；3.山东理工大学理学院，山东 淄博 255049；4.贵州师范大学数学科学学院，贵州 贵阳 550001)

研究了群G的某些弱S-嵌入子群对其p-幂零性的影响，得到了几个新结果，同时也推广了原有的一些众所周知的结论.

s-可换子群；弱S-嵌入子群；p-幂零群；群系

1 预备知识

定义1.1[14]G的子群H称为是弱S-嵌入于G的，如果G有正规子群T满足HT是G的s-置换子群且H∩T≤Hse，其中Hse表示G的包含在H中的s-置换嵌入子群.

文献[13-14]得到了一些关于G的弱S-置换子群的有趣结果，本文继续研究弱S-置换子群对G的p-幂零性的影响并推广了一些现有结果.

(1) 如果H≤K≤G，则H在K中是s-置换的；

(2) 如果HN与H∩N在G中s-置换，则HN/N在G/N中s-置换；

(3)H是G的次正规子群；

(4) 如果H是一个p-群，则NG(H)≥Op(G).

(1) 如果H≤K，则H是K的s-置换嵌入子群；

(2)HN是s-置换嵌入于G的，且HN/N是s-置换嵌入于G/N.

引理1.3[15]假设H是s-置换于G的，P是H的Sylowp-子群，其中p是素数.如果HG=1，则P是s-置换于G的.

引理1.4[14]设G是群且H≤K≤G.那么：

(1) 若H是G的正规子群，则K/H是G/H的弱S-置换子群，当且仅当K是G的弱S-嵌入子群；

(2) 如果H是弱S-置换于G的，则H弱S-置换于K；

(3) 假设H是G的正规子群，那么对于G的每个满足(|H|，|N|)=1的弱S-嵌入子群N，NH/H弱S-置换于G/H；

(4) 如果H弱S-置换于G且K是G的正规子群，那么G有包含在K中的正规子群T，满足HT是S-置换于G且H∩T≤Hse.

引理1.5[16]设G是一个群且p是一个满足pn+1|G|的素数.对某个n≥1，如果(|G|，(p-1)(p2-1)…(pn-1))=1，则G是p-幂零的.

2 主要结果

定理2.1设P是G的Sylowp-子群，其中p是|G|的素因子，且(|G|，(p-1)(p2-1)…(pn-1))=1.如果P的每个在G中无p-幂零补的n-极大子群(如果存在)都弱S-嵌入于G，则G是p-幂零的.

证明 假设结论错误并设G是极小阶反例.分以下几步证明：

(1) |P|≥pn+1且P的每个n-极大子群都是弱S-嵌入于G的.

由引理1.5，假设|P|≥pn+1.如果存在P的n-极大子群P1在G中有幂零补T，则说明G是p-幂零的.否则，设H是G的包含P的非p-幂零子群且H的每个真子群是p-幂零的，那么由文献[5]之定理5.4，H是极小非幂零群.从而H有以下性质：

(ⅰ) |H|=paqb，其中p与q是不同素数；

(ⅱ)H=[Hp]Hq，其中Hp=P是H的正规Sylowp-子群，且Hq是H的循环Sylowq-子群；

(ⅲ)P/φ(P)是H的主因子.

(2)G不是一个非交换单群.

由步骤(1)的结果可知P有非平凡的n-极大子群P1弱S-嵌入于G，于是存在G的正规子群T使得P1T在G中是s-置换的，且P1∩T≤(P1)se.如果G是一个非交换单群，则T=1或G.如果T=1，那么P1=P1T在G是s-置换的，从而P1是G的次正规真子群，矛盾.故T=G，从而P1=(P1)se是s-置换嵌入G，P1是某个s-置换嵌入子群K的Sylowp-子群，K在G中次正规.因为G是单群，于是K=G且P1是G的Sylowp-子群，矛盾.故G不是非交换单群.

(3)G有唯一一个极小正规子群N且φ(G)=1.

设N是G的一个极小正规子群，证明假设对于G/N仍成立.如果G/N的Sylowp-子群PN/N是循环的，那么由文献[17]之引理2.2知G/N是p-幂零的，因此假设PN/N是非循环的且|PN/N|≥pn+1，从而P是非循环的.设M/N是PN/N的一个n-极大子群，易知存在P的n-极大子群P1使得M=P1N，且P∩N=P1∩N是N的Sylowp-子群.由假设与结论(1)，可设P1弱S-置换于G，从而存在G的正规子群T使得P1T是s-置换于G且P1∩T≤(P1)se.显然，TN/N在G/N中正规且P1N/N，TN/N=P1TN/N在G/N中是s-置换的.注意到P1∩N是N的Sylowp-子群，所以

|(P1∩N)(T∩N)|p=|P1∩N|=|N|p=|N∩P1T|p.

由P1是p-群，则

上面两式意味着(P1∩N)(T∩N)=P1T∩N，于是由文献[18]可知P1N∩TN=(P1∩T)N.由引理1.2，P1N/N∩TN/N=(P1∩T)N/N≤(P1)seN/N是s-置换于G/N的，因此M/N弱S-置换于G/N，从而G/N满足定理假设，再由G的选择知G/N是p-幂零的.因为所有p-幂零群类是饱和群系，所以N是G的唯一极小正规子群且φ(G)=1.

(4)Op′(G)=1.

如果Op′(G)≠1，那么N≤Op′(G)，且由结论(3)知G/Op′(G)是p-幂零的，因此G是p-幂零的，矛盾.

(5)Op(G)=1且N不是p-幂零的.

(6)G=PN.

由引理1.4，PN满足定理假设.由G的选择可知如果PN

最后，如果P∩N≤φ(P)，那么由Tate定理[1]可知N是p-幂零的，与结论(5)矛盾.因此，存在P的极大子群P1满足P=(N∩P)P1.设P2是P的包含在P1中的n-极大子群，因为P2弱S-嵌入于G，故存在G的正规子群T使得P2T是s-置换于G且P2∩T≤(P2)se.

如果T=1，则P2是s-嵌入于G的，因此Op(G)≠1，与结论(5)矛盾.于是可设T≠1且N≤T.如果(P2)se=1，则|T|p≤pn，由引理1.5知T是p-幂零的，N也是p-幂零的，这个矛盾说明(P2)se≠1.从而存在G的s-置换子群K使得(P2)se是K的Sylowp-子群.如果KG≠1，则N≤KG≤K且(P2)se∩N是N的Sylowp-子群.另一方面，P∩N是N的Sylowp-子群且(P2)se∩N≤P∩N，则(P2)se∩N=P∩N.这意味着P=(N∩P)P1=P1，矛盾.因此，KG=1.由引理1.3知(P2)se是G的s-置换子群，(P2)se≤Op(G)，与结论(5)矛盾.定理证毕.

定理2.2 设p是|G|的素因子且P是G一个p-子群.如果NG(P)是p-幂零群，且P的每个在G中无p-幂零补的极大子群都弱S-嵌入于G，则G是p-幂零群.

证明 如果p=minπ(G)，由定理2.1知G是p-幂零的，故只需考虑p不是G的最小素因子(因而是奇数)的情况.假设结论不真且设G为极小阶反例，则：

(1)P的每个极大子群都是弱S-嵌入于G的.

类似于定理2.1步骤(1)的证明.

(2)Op′(G)=1.

假设Op′(G)≠1，考虑G/Op′(G).显然POp′(G)/Op′(G)是G/Op′(G)的Sylowp-子群且NG/Op′(G)(POp′(G)/Op′(G))=NG(P)Op′(G)/Op′(G)是p-幂零群.设T/Op′(G)是POp′(G)/Op′(G)的极大子群，则对于P的某个极大子群P1，T=P1Op′(G).由结论(1)与引理1.4之结论(3)，P1Op′(G)/Op′(G)弱S-嵌入于G/Op′(G)，从而G/Op′(G)满足定理的假设.于是由归纳法，G/Op′(G)是p-幂零的，从而G是p-幂零的，矛盾.

(3) 如果M是G的包含P的真子群，则M是p-幂零的.

因为NM(P)≤NG(P)是p-幂零的，由结论(1)与引理1.4之结论(1)，M满足定理假设，从而G的极小性意味着M是p-幂零群.

(4)G=PQ可解且1

因为G不是p-幂零群，由Thompson定理[19]，存在P的非平凡特征子群H使得NG(H)不是p-幂零群.因为NG(P)是p-幂零的，选择H使得NG(H)不是p-幂零，但对P的包含H的每个特征子群K，NG(K)是p-幂零的.显然Ng(P)≤NG(H)，则由结论(3)，NG(H)=G.故H≤Op(G)≠1且Op(G)

(5)G有唯一极小正规子群N满足G=[N]M，其中M是G的极大子群且N=Op(G)=F(G).

设N是G的极小正规子群，那么由结论(2)与(4)，N是初等交换p-群且N≤Op(G).容易看到G/N满足假设，G的极小性的意味着G/N是p-幂零群.因为所有p-幂零群类是饱和群系，所以N是G的唯一正规子群且N≤≠φ(G)，结论(5)成立.

(6) |N|=p.

定理2.3 设p是一个素数，F是包含所有p-幂零群类Np的饱和群系，G是一个群且对某个整数n≥1满足(|G|，(p-1)(p2-1)…(pn-1))=1.则G∈F，当且仅当G有正规子群E满足G/E∈F，且对E的某个Sylowp-子群P，P的每个在G中无p-幂零补的n-极大子群-如果存在)都弱S-嵌入于G.

必要性是显然的，下证充分性.假设结论错误且G是极小阶反例.显然(|E|，(p-1)(p2-1)…(pn-1))=1，且对于P∈Sylp(E)的每个n-极大子群H，或者H在E有p-幂零补，或者H是弱S-嵌入于E的.由定理2.1知，E是p-幂零群，E∈F.设T是E的正规p-补，则T在G中正规.现将证明分成如下几步：

(1)T=1.

如果T≠1，则断言G/T(关于E/T)满足定理假设.事实上，(G/T)/(E/T)≅G/E∈F.设H/T是PT/T=E/T的任意n-极大子群，则存在P的n-极大子群L满足H=LT.由假设，或者L在G中有一个p-幂零补K，或者L弱S-嵌入于G.这意味着或者H/T=LT/T在G/T中有一个p-幂零补KT/T，或者H/T弱S-嵌入于G/T，故G/T满足定理的假设.G的阶的极小性意味着G/T∈F.如果f与F分别是Np与F的典型定义，因为T是G的正规p′-子群，所以对G的任何主因子Ti+1/Ti，其中Ti≤T，有G/CG(Ti+1/Ti)∈f(q)，且每个整除于jTi+1=Tij的q，因为NpμF，f(q)μF(q)，由文献[18]之命题3.11，G/CG(Ti+1/Ti)∈F(q).故由G/T∈F得G∈F，矛盾.从而T=1.

(2)CG(P)≥Op(G).

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(责任编辑：李亚军)

On thep-nilpotency and weaklyS-embedded subgroups of finite groups

GUO Gui-rong1，2，ZHAO Tao3，CHEN Yun-kun4

(1.Department of Basic Course，Guizhou University of Commerce，Guiyang 550014，China；2.Mathematics Department，Liupanshui Normal University，Liupanshui 553004，China；3.School of Sciences，Shandong University of Technology，Zibo 255049，China；4.School of Mathematics Science，Guizhou Normal University，Guiyang 550001，China)

The influence of some weaklyS-embedded subgroups on thep-nilpotency of a finite groupGis investigated.Some new results are obtained which generalize some known results.

s-permutable subgroup；weaklyS-embedded subgroup；p-nilpotent group；formation

1000-1832(2017)02-0006-05

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2017.02.002

2015-09-22

国家自然科学基金资助项目(11171243)；贵州省科学技术基金资助项目(黔科合J字LKLS[2013]31号).

郭桂容(1974—)，女，教授，主要从事基础代数的教学和研究；通信作者：赵涛(1981—)男，博士，主要从事群论研究.

O 152 [学科代码] 110·21

A