两个矩阵乘积的{1,3}逆的正序律

刘忠山，熊志平

（五邑大学 数学与计算科学学院，广东 江门 529020）

两个矩阵乘积的{1,3}逆的正序律

刘忠山，熊志平

（五邑大学 数学与计算科学学院，广东 江门 529020）

广义逆理论是应用十分广泛的一个数学分支，它在线性代数、矩阵分析、矩阵理论、最优化和数理统计等研究领域有着极其重要的应用. 本文利用广义Schur补的最大秩理论和一些经典的秩等式，研究了两个矩阵乘积的成立的充要条件.

广义逆；Schur补；最大秩；正序律

1 引言及预备知识

定义1[2]409设，满足下列4个Penrose条件：的矩阵称为A的逆，记

定义2[2]409设，若矩阵满足Penrose条件1）和3），称X为A的逆，记作或

定义3[2]409设，若矩阵满足Penrose条件1）和4），称X为A的逆，记作或

引理1[3]679设和，则：

引理2[3]679设且，则：

引理3[5]54,[6]26设，l和m是cn上的互补子空间，即，Pl,m为沿m到l上的投影算子，则：

引理4[5]48,[6]9-10设，存在矩阵，使得：

2 主要结果

证明 由引理4的1），可知：

成立，当且仅当等式

对式（3），再次利用引理1和引理2，可得：

结合等式（1）、（2）和（4），可得定理1的结论.定理证毕.

根据定理1以及引理2和引理3，很容易得出如下推论.

利用定理1和推论1相同的证明方法，可以证得如下结论.

证明 由引理4的2），可知：

成立，当且仅当等式

对式（7），再次利用引理1和引理2，可得：

结合等式（5）、（6）和（8），可得定理2的结论.定理证毕.

[1] 王国荣.矩阵与算子广义逆[M].北京：科学出版社，1994.

[2] PENROSE R.A generalized inverse for matrix [J].Proc Cambridge Philos Soc, 1955, 51: 406-413.

[3] TIAN Yongge.More on maximal and minimal ranks of Schur complements with application [J].Applied Mathematics and Computation, 2004, 152(3): 675-692.

[4] MATSAGLIA G, STYAN G P H.Equalities and inequalities for ranks of matrices [J].Linear and Multilinear Algebra, 1974, 2: 269-292.

[5] BEN-LSRAEL A, GREVILLE T N E.Generalized inverse: theory and application [M].2nd ed.New York: Springer-Verlag, 2003: 35-54.

[6] WANG Guorong, WEI Yimin, QIAO Sanzheng.Generalized inverse: theory and computations [M].Beijing: Science Press, 2004: 9-26.

[责任编辑：熊玉涛]

我校学子喜获2016年高教社杯全国大学生数学建模竞赛一等奖

我校数学与计算科学学院数学建模竞赛指导团队认真组织学生参加数学建模校赛选拔、培训、参赛及建模论文撰写指导等工作。在2016年高教社杯全国大学生数学建模竞赛中，我校学子共有30支参赛队参加，喜获广东赛区一等奖1项、二等奖2项、三等奖5项、优胜奖15项。其中由刘赛华老师指导，选手付志文、梁国栋、黄志杰撰写的建模论文《小区开放对道路通行的影响》获得全国大学生数学建模竞赛国家级一等奖，是我校学子近十年来参加全国数学建模竞赛获得的最好成绩。

A Note on the Forward Order Law for Least G-inverse of Two Matrix Products

LIU Zhong-shan, XIONG Zhi-ping
(School of Mathematics and Computational Science, Wuyi University, Jiangmen 529020, China)

The generalized inverse theory is a widely used branch of mathematics which has a wide range of applications in linear algebra, matrix analysis, matrix theory, optimization and mathematical statistics.In this paper, we study the forward order law for-inverse of the product of two matrices by using the expressions for maximal ranks of the generalized Schur complement and some necessary and sufficient conditions for A1are obtained.

generalized inverse; Schur complement; maximal rank; forward order law

O151.21

A

1006-7302（2017）02-0001-05

2016-12-06

国家自然科学基金资助项目（11571004）；广东省高等学校优秀青年教师培养计划项目（SYq2014002）；广东省教学改革项目（GDJX2016016）；五邑大学研究生教育创新教育类项目（YJS-SFKC-16-01）；广东省研究生教育创新计划项目（2016SFKC_40）

刘忠山（1990—），男，贵州遵义人，在读硕士生，研究方向为矩阵与算子广义逆；熊志平，副教授，博士，硕士生导师，通信作者，主要从事矩阵与算子广义逆的研究.