高中数列学习的难点所在及对策

屈丙强

【摘 要】在高中的数学知识点中，数学一直被认为是非常重要且必考的考点，经管很多同学和老师也很重视对数列的研究，但依然有很多同学认为数列学习很难。数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型。对于高中生来说，首先应该认识到数列本质是一种函数、这种思想对学好数列非常重要。尤其是高考中数列的考题越来越多，要从根本上解决数列问题，就要求高中生从题目的训练，熟练地掌握做题方法，使高中生在数列学习中达到事半功倍的效果。

【关键词】高中数学 数列问题 解决方法

对于高中数学，数列不以为然是很多学生头疼之处，在我认为其难点可分为：

等差数列的计算、等比数列的计算、等差数列的求和、等比数列的求和、混合运算的求和。

归纳和推类比是两种用途最广的合情推理，也是數列学习的最主要方法。没有找对规律，认为数列就是无序的，有序的结合，没有真正的认为或者把他看成是函数来计算和解决。解决数列问题的基本思路：半段所要求研究的数列是否为特殊数列，等差数列或等比数列，如果是，用公式和性质解决，如果不是特殊数列，要么转化为特殊数列，要么寻找其他方法。因此我们拿到一个数列的问题时，要注意关注数列的属性。接下来让我们来讨论讨论它的解决方法。让高中的数列学习变得简单，不再是学习心中的难题。

一、解决数列问题的一般方法

1.构造法

将非等差数列、等比数列，转换成相关的等差等比数列

适当的进行运算变形

例：{an}中，a1=3且an+1=an2，求an

解：lnan=lnan2=2lnan

∴{lnan}是等比数列，其中公比q=2，首项为ln3

∴lnan=（2n-1）ln3

故：倒数变换法（适用于an+1=A*an/（B*an+C），其中，A、B、C∈R）

2.待定系数法

A.递推式为an+1=p*an+q（p，q为常数），可以构造递推数列{an+x}为以p为公比的等比数列，即an+1+x=p*（an+x），其中x=q/（p-1）（或者可以把设定的式子拆开，等于原式子）

例：{an}中a1=1，an+1=3an+4，求an

解：an+1+2=3（an+2）

∴{an+2}是等比数列首项是3，公比是3

∴an=3n-2

B.递推公式为an+1=p*an+qn（p，q是常数）

常规变形，将两边同时除以qn+1，得到an+1/qn+1=（p/q）*（an/qn）+1/q，再令bn=an/qn，可以得到bn+1=k*bn+m（其中k=p/q，m=1/q），之后就用上面A中提到的方法来解决

C.递推公式为an+2=p*an+1+q*an，（p，q是常数）

可以令an+2=x2，an+1=x，an=1

解出x1和x2，可以得到两个式子：

an+1-x1*an=x2*（an-x1*an-1）

an+1-x2*an=x1*（an-x2*an-1）

然后，两式子相减，左边可以得出来（k为系数），右边就用等比数列的方法得出来。

D.递推式an+1=p*an+an+b（a，b，p是常数）

可以变形为an+1+xn+1+y=p*（an+xn+y），然后和原式子比较，可以得出x，y，即可以得到{an+xn+y}是个以p为公比的等比数列

例：{an}中，a1=4，an=3an-1+2n-1（n≥2）

解：原式=an+n+1=3[an-1+（n-1）+1]

∴{an+n+1}为等比数列，q=3，首项是6

∴an=2×3n-n-1

3.特征根法

递推式为an+1=（A*an+B）/（C*an+D）（A，B，C，D是常数）

令an+1=an=x，原式则为x=（Ax+B）/（Cx+D）

（1）若解得相同的实数根x0，则可以构造数列{1/（an-x0）}为等差数列

例：{an}满足a1=2，an+1=（2an-1）/（4an+6），求an

解：x=（2x-1）/（4x+6）

解得x0=-1/2

1/（an+1/2）=1/[（2an-1-1）/（4an-1+6）+1/2]=1/[an-1+1/2]+1

∴{1/（an+1/2）}是等差数列，d=1，首项是2/5

∴an=5/（5n-3）-1/2

（2）若解得两个相异实根x1，x2，则构造{（an-x1）/（an-x2）}为等比数列（x1，x2的位置没有顺序，可以调换）

例：{an}满足a1=2，an+1=（an+2）/（2an+1）

解：由题可得（an-1）/（an+1）=-1/3[an-1-1]/[an-1+1]

则{（an-1）/（an+1）}是等比数列，q=-1/3，首項是1/3

∴an=[1+（-1）n-1（1/3）n]/[1-（-1）n-1（1/3）n]

（3）如果没有实数根，那么这个数列可能是周期数列

例：{an}中，a1=2，满足an+1=an-1/an（n≥2）

解：a1=2，a2=1/2，a3=-1，a4=2，a5=1/2……

所以an=2（nMOD3=1），1/2（nMOD3=1），-1（nMOD3=0）

4、连加相减

例：{an}满足a?+2a?+3a?+……+nan=n（n+1）（n+2）

解：令bn=a?+2a?+3a?+……+nan=n（n+1）（n+2）

nan=bn-bn-1=n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）

∴an=3（n+1）[1]

二、高中数学中有关等差、等比数列的结论

（1）等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m-S3m、……仍为等差数列。

（2）等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m-S3m、……仍为等比数列。

（3）两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。

（4）两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列{an·bn}、仍为等比数列。

（5）等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。

（6）等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。

（7）三个数成等差数列的设法：a-d，a，a+d；四个数成等差的设法：a-3d，a-d，，a+d，a+3d。

（8）三个数成等比数列的设法：a/q，a，aq；四个数成等比的错误设法：a/q3，a/q，aq，aq3（为什么？）。

（9）{an}为等差数列，则（c>0）是等比数列。

（10）{bn}（bn>0）是等比数列，则{logcbn}（c>0且c≠1）是等差数列。

数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型，通过对日常生活中大量实际问题的分析，建立等差数列和等比数列这两种特殊数学模型，学习并掌握数列的一般解决方法，并通过实际练习牢记数列的各种公式，能够灵活运用数列知识解决一些实际问题。

参考文献

[1]王茜.中澳高中数学教科书中数列内容的比较研究[D].上海师范大学，2013.

[2]张婷.高中数列不同版本教科书内容的比较研究[D].东北师范大学，2009.