理知识脉络抓重点难点看问题本质

姜鸿雁

一、关注图形变化前后的“对应”

无论哪类图形变换，关注图形变化前后的对应关系是关键，关注对应点、对应角、对应边，则便于发现平移的距离、旋转的角度、对称轴或比例線段等关于图形变换的重要“指标”，也便于运用各类图形变换的性质，使问题迎刃而解.

例1 （2016·新疆）如图1，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B、A、C′在同一条直线上，则三角板ABC旋转的角度是（ ）.

A.60° B.90° C.120° D.150°

【解析】C、C′是对应点，AC、AC′是对应边，因为对应边夹角是旋转角，所以∠CAC′是旋转角，所以本题选D.

例2 （2016·泰州）如图2，在△ABC中，BC=5cm，将△ABC沿BC方向平移至△A′B′C′的对应位置时，A′B′恰好经过AC的中点O，则△ABC平移的距离为 cm.

【解析】图形平移的距离是指对应点之间的距离，即BB′或CC′的长，由平移的性质知对应边平行，易得△OB′C∽△ABC，因为O为AC中点，所以相似比为[12]，则B′C=2.5（cm），所以BB′=2.5（cm）.

二、关注图形变化中整体与部分的关系

无论哪类图形变换，部分与整体之间都存在着依存关系：图形上每个点随着图形整体做相同方式运动.

例3 （2016·青岛）如图3，线段AB经过平移得到线段A′B′，其中点A、B的对应点分别为A′、B′，这四个点都在格点上.若线段AB上有一个点P（a，b），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为（ ）.

A.（a-2，b+3） B.（a-2，b-3）

C.（a+2，b+3） D.（a+2，b-3）

【解析】因为在运动过程中，图形上所有的点都按相同的变化规律运动，虽然点P不是格点，但可以从线段端点A或B（它们是格点）容易发现变化规律是：向左平移2个单位，向上平移3个单位，所以答案为A.

三、关注坐标中“藏”着的“秘密”

当图形放置在平面直角坐标系下，坐标可以确定图形的位置，图形的运动方式也可以通过坐标的方式来体现，善于发现坐标中的“秘密”，是我们发现问题本质的一条重要途径.

例4 （2016·滨州）正五边ABCDE放入某平面直角坐标系后，若顶点A、B、C、D的坐标分别是（0，a）、（-3，2）、（b，m）、（c，m），则点E的坐标为（ ）.

A.（2，-3） B.（2，3）

C.（3，2） D.（3，-2）

【解析】正五边形是轴对称图形，由A点坐标可知它在y轴上，C、D两点的坐标“告诉”我们CD平行于x轴，所以本题的本质就是求B点关于y轴的对称点E的坐标，故选C.

例5 （2016·河南）如图4，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为（ ）.

A.（1，-1） B.（-1，-1）

C.（[2]，0） D.（0，-[2]）

【解析】点B坐标（2，2）“藏”着OB与x轴夹角是45°，每秒旋转45°，则意味着每8秒，点B回到原处，60秒时，点B旋转到第三象限，而菱形绕O点旋转时，点B、对角线交点D也同样随整体一起旋转，所以此时点D的坐标是（-1，-1）.

四、图形的变化是重要思想方法与策略

图形的变化不仅是一个个具体的知识，也是我们解决问题的重要思想方法与策略，巧妙运用图形变化思想，有助于我们发现问题的本质，绕开易错的烦恼，达到事半功倍的效果.

例6 （2016·淄博）如图5是由边长相同的小正方形组成的网格，A、B、P、Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB、PQ相交于点M，则图中∠QMB的正切值为 .

【解析】在网格问题中，应该关注格点，也“希望”要求的目标与格点相关，将线段AB上移一格再右移一格，使B、Q重合（如图6），由平移性质得∠QMB=∠FQP，且△FQP是直角三角形，所以tan∠QMB=tan∠FQP=2.

例7 （2015·娄底）一块三角板ABC按如图7所示的方式放置，顶点A的坐标为（0，1），直角顶点C的坐标为（-3，0），∠B=30°，则B点的坐标为 【解析】过B点作BD⊥x轴于D，由相似变换可知△OCA∽△DBC，又因为在Rt△ABC中，∠B=30°，所以两个三角形的相似比为[1∶3]，则DC=[3]，DB=[33].在求B点坐标时，我们可以这样思考：B点是由C点向左平移[3]再向上平移[33]个单位得到的，则B点的坐标为（-3-[3]，[33]）.用动态的思想求点的坐标，可以免去线段的长与坐标符号的正负性导致的错误.

结束语：图形的变化既体现在位置关系的变化上也体现在数量关系的变化上，可以单一变化，也可以组合变化，可以从知识认识它们，更要从解决问题的方法和策略上去认识它们，它们在呼唤我们要善于用动态的眼光去看待一个静态的图形，用这种独特的方式可以提升我们的思维能力.

（作者单位：江苏省无锡市河埒中学）