数学核心素养及其特征分析

◇马云鹏

数学核心素养及其特征分析

◇马云鹏

2016年9月13日，教育部公布《中国学生发展核心素养》，正式确定学生发展核心素养的框架、维度和指标。学生发展核心素养是学生在接受相应学段的教育过程中，逐步形成的适应个人终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力[1]。学生发展核心素养的培养要体现在学校的教育教学过程之中，而学科教育占学校教育的70%以上，是学生在学校接受教育的主要途径。数学是中小学教育的主要学科之一，正确理解数学核心素养及其与学生发展核心素养的关系，弄清数学核心素养有哪些重要的特征，对于在小学数学教学中培养学生的核心素养有重要意义。

一 对数学核心素养的理解

虽然“学生的核心素养体现跨学科、综合性的能力培养”的特征[2]，但学生发展核心素养的形成，必然要通过学科教学来实现。每一个学科都有其自身的独特价值，在培养学生核心素养方面发挥着特殊的作用，数学学科更是如此。

1.数学核心素养的含义。

数学核心素养是以数学课程教学为载体，基于数学学科的知识技能而形成的重要的思维品质和关键能力。数学核心素养是在数学知识技能的学习过程中形成的，有助于学生深刻理解与掌握数学知识技能。数学核心素养不等同于数学知识技能，而是指向学生的一般发展，反映数学学科的本质及其赖以形成与发展的重要思想，有助于学生的终身发展。

一般认为，“数学素养是指当前或未来的生活中，为满足个人成为一个会关心、会思考的公民的需要而具备的认识、理解数学在自然、社会生活中的地位的能力，作出数学判断的能力，以及参与数学活动的能力”[3]。数学核心素养是数学素养中最重要的思维品质和关键能力，是人们通过数学的学习建立起来的认识、理解和处理周围事物时所必备的品质与能力，通常是在人们与周围环境产生相互作用时所表现出来的思考方式和解决问题的策略。人们所遇到的问题可能是数学问题，也可能不是明显的和直接的数学问题，而具备数学素养的人可以从数学的角度看待问题，用数学的思维方式思考问题，用数学的方法解决问题。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确提出数学教学中应特别重视10种重要素养，即数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识。可以把这10种重要素养理解为学生学习数学应达成的重要思维品质和关键能力。因此，把它们理解为数学核心素养是恰当的。正在修订的《普通高中数学课程标准》明确提出了6大核心素养，即数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析[4]。可见，《普通高中数学课程标准》中确定的数学核心素养与《义务教育数学课程标准（2011年版）》中提出的10个数学核心素养是一脉相承的，关键要素的表达是基本一致的。

数学核心素养反映了数学的基本思想和学习数学的关键能力。史宁中教授认为数学基本思想是“数学发展所依赖、所依靠的思想”“数学发展所依赖的思想在本质上有3个：抽象、推理、模型，其中抽象是最核心的。通过抽象，在现实生活中得到数学的概念和运算法则，通过推理得到数学的发展，然后通过模型建立数学与外部世界的联系。”[5]数学基本思想是研究数学学科不可缺少的思想，也是学习数学、理解和掌握数学所应追求和达成的目标。可见，数学抽象、逻辑推理、数学建模反映的是数学基本思想，是核心素养中最重要的数学思维品质。另外3个方面的核心素养，即直观想象、数学运算和数据分析，可以理解为学习数学的关键能力和方法。当然，思维品质和关键能力并非截然分开的，抽象、推理和建模也是学习数学的重要能力。

上述10个方面或6个方面的数学核心素养，是中小学数学教学过程中应当特别关注的，是基于数学知识技能学习过程而形成的。同时，这些素养又对学生深刻理解数学知识技能，进而体会数学学科本质，运用数学分析和解决问题，以及对学生的一般发展都有重要作用。

2.数学核心素养与学生发展核心素养的关系。

数学核心素养与学生发展核心素养具有共同的属性，即都是核心素养，关注的都是学生深层的长远发展。核心素养关注学生一般发展，学生发展核心素养是针对学生在一个阶段的学习中形成的一般发展的重要的和关键的品质和能力，如社会担当、人文底蕴、学会学习等。数学核心素养是学生学习数学的过程中形成的体现数学学科本质的具有一般发展属性的品质与能力。学生发展核心素养与数学核心素养二者之间有内在的联系。可以通过图1理解学生发展核心素养与数学核心素养的关系。

图1

首先，学生发展核心素养指向学生整体的全面的发展，是学生综合素养中的核心素养。数学核心素养作为学科核心素养处于学生发展核心素养的下位，同样指向学生发展核心素养，但数学核心素养并非全部属于学生发展核心素养，学科核心素养的总和不等于学生发展核心素养。一方面，学科教学不是学校教育的全部，学生发展核心素养并非全部由学科课程与教学完成；另一方面，学科核心素养大部分指向学生发展核心素养，但也不排除其中有一小部分只是针对学科内部的思维与能力，重点指向学生在学习学科知识时所运用的思维品质与能力。就数学学科而言，数学核心素养中可能存在对于学科本身是重要的和关键的，而在学生的整体发展方面并非关键的核心素养。如数学中的几何直观，对于解决数学问题属于关键能力，可以作为数学的核心素养之一，但对于学生的一般发展未必是关键能力。

其次，数学课程与教学是实现培养学生数学核心素养目标的重要途径，也承担着形成学生发展核心素养的任务。数学课程与教学目标具有数学学科本身的特殊性，同时又是学生全面发展的组成部分，因此，数学课程与教学的最终目标是促进学生的发展。数学的课程设计与教学过程，既要关注学生的数学核心素养的形成，又要关注学生发展核心素养的形成。数学教学过程承担着数学教育目标的实现任务，也具有发展学生的一般核心素养的功能。

再次，学生发展核心素养具有跨学科性。学校设计和组织的学科教学以外的各类活动对于学生发展核心素养发挥着重要作用，但并不意味着学生发展核心素养一定要通过跨学科的方式来实现。每一个学科都有培养学生的学科素养的任务，同样也是实现学生发展核心素养的重要载体。学生发展核心素养既有跨学科性，又必须通过各学科的课程教学实现。

二 数学核心素养的特征

数学核心素养既具有学生发展核心素养的属性，也具有数学学科的属性。林崇德教授认为，核心素养具有 6个方面的特征，即“核心素养是所有学生应具有的最关键、最必要的基础素养；核心素养是知识、能力和态度等的综合表现；核心素养可以通过接受教育来形成和发展；核心素养具有发展连续性和阶段性；核心素养兼具个人价值和社会价值；学生发展核心素养是一个体系，其作用具有整合性”[6]。依据数学核心素养的特征，结合对数学核心素养的理解，数学核心素养的主要特征包括综合性、学科性、关键性、阶段性和持久性。

我们可以通过下面这个“数的认识”教学的实例说明数学核心素养的几个特征。

“11~20各数的认识”是学生第一次正式学习数位与数位上的值，是学习十进制计数法的开始。虽然许多学生在学前阶段就学过这个内容，但学生是否真正理解十进制数的表示方法，学生对不同数位上的数字表示不同的数值是否清楚，这关系到对学生“数感”和数的抽象等重要的数学思想的培养。在这节课的设计上，教师针对学生可能存在的困惑，在理解这个知识的过程中，突出了数学抽象，注重学生“数感”的形成。以下的片段就是在学生具体感受古人是如何认识数的，怎样用小木棒表示12这个数等活动的基础上，提出一个富于思考的问题，引起学生的讨论。（该片段引自：北京市朝阳区实验小学的倪芳老师，在第十二届全国小学数学教学观摩交流会上所做的观摩课“11~20各数的认识”）

师：孩子们，我们的故事还在继续，还记得吗？聪明的古人用1个大石头和1个小石头表示11，我们用1捆小棒和1根小棒也能表示11，但是问题来了，现在只有2颗颜色一样、大小一样的小珠子，还能表示11吗？

（接下来的讨论中，学生意见不一致，有人认为能，有人认为不能，教师分别请几个代表说说自己的想法）

生1：我觉得2颗小珠子是一样大的，不能表示11，只能表示2，它就是2颗，不能表示11。但是可以表示20。

生2：我摸的时候就像2颗，不像20。

生3：把一颗当作十位，另一颗当作个位，就可以表示11了。

生4：用一颗珠子表示10个，另一颗表示 1个。

生1：2颗一样大的，就不能表示11，要是一颗大、另一颗小就可以了。一样大的2颗珠子，要么表示2，要么表示20，不能表示11。

师：是呀，都长得一样，你怎么能让所有人都知道到底谁是10谁是1呀？

生3：在一颗珠子上写“十位”，在另一颗珠子上写“个位”，就能区分了，这样就可以表示11了。

师：其实刚才他的想法和数学家的想法特别像，数学家为我们制造了计数的工具，快来看（出示计数器），认识吗？

师：这叫计数器。这是数学家帮我们发明的，看看，计数器上有好多的小位子，从右边开始第一位叫“个位”，第二位叫“十位”。

师：有了计数器的帮助，能不能表示11呢？我们来看一看。

师：（在黑板上画计数器）在个位上放1颗小珠子，表示什么？

生：1个一。

师：在十位上放1颗小珠子，这可不是1个一啦！

生：这是1个十。

师：真好，1个十和1个一合起来就是11。

在上面的教学片段中，学生争论的焦点在于：用2颗相同的小珠子是否可以表示11。有两种观点：能表示11和不能表示11，持这两种观点的学生都能说出道理。在这个过程中，学生确实认真思考，动脑筋想问题，投入到学习过程中了。最后抓住了理解这个问题的关键 “在一颗珠子上写 ‘十位’，在另一颗珠子上写‘个位’”，这样就可以表示11了。这是学生对数位与不同数位上的数字可以表示不同的值的理解过程。

借助上面的案例，我们来分析学科核心素养的特征。

第一是综合性。综合性是指数学核心素养是数学的基础知识、基本能力、基本思想等的综合体现。数学基础知识和基本能力可以看作数学核心素养的外显表现。在上面“11~20各数的认识”的教学过程中，涉及数的理解、数的意义和数的表示等基础知识，学生需要理解可以用数来表示小棒的个数，不同个数的小棒用不同的数来表示。当需要表示11、12根小棒这样的数量时，就产生了不同的表示方法，引起学生思维上的冲突。当教师提出“用同样的2颗珠子能不能表示11”时，出现了两种不同的想法，在讨论的过程中，学生的思维不断得到启发，逐步把原有的知识与方法和现在遇到的情境进行整合，形成对这个问题的新的理解与认知。这一过程是综合运用知识技能与设计方法的过程，在此过程中，学生既对所学知识有了深刻的理解，又形成了重要的数学思想。核心素养总是基于基础知识和基本能力实现的，并且外化于运用基础知识和基本能力解决问题的过程。在这个过程中，数学基本思想与学习态度等核心素养总是表现出内隐的特质。

第二是学科性。数学核心素养具有数学的学科属性，这种学科性与数学学科内容的特征和数学思维密切联系。数学的知识技能中又蕴含着与之密切相关的数学思维品质和关键能力。因此，数学核心素养总是与一个或多个学习内容有关，体现数学学科自身的特征。上面的案例中的内容是数的认识，是“数与代数”领域中的核心内容，与之相关的核心素养是数感或数学抽象。

第三是关键性。数学核心素养是学生学习过程中应达成的思维品质和关键能力。数学课程与教学的设计和实施过程，都需要引导学生在理解、掌握知识技能的过程中，运用不同的思想、方法、技能和技巧。并不是数学学习中所有的方法和能力都能成为数学核心素养，数学核心素养是反映数学学科发展的，理解和解决一类数学问题的思想和能力，不是只适用于特定的内容和特定情境的方法。上面的案例中，认识数的时候，两个两个数，五个五个数等，都是表示数的方法，在一定的情境中是适用的。而对于数的认识，通用的方法是十进制计数法。学生掌握不同数位上的数字可以表示不同的数值，不只对于理解 20以内的数有价值，进一步理解更大的数同样是这样的方法。因此，学习抽象的表示数的方法对于学生来说是学习数的认识的重要思想。

第四是阶段性。在数学学习过程中形成的核心素养是学生终身受用的，核心素养也是在学习的各个阶段逐渐形成的。数学核心素养的阶段性是指核心素养表现为不同层次水平，不同学段学生的核心素养表现为不同水平。在上面的案例中，学习的内容是数的认识的开始，学生初步建立数感，初步体验数的抽象性。在这里，数的意义和数的表示仅限于20以内的数。随着学生的年级增高，学习的数也在不断拓展，从20以内的数，到100以内、万以内的数，进而从整数拓展到小数和分数。数的认识的内容在不断拓展，对数的抽象水平也在不断提升。但基本的思考方式是相同的，都是从数量抽象为数，只是思维的水平在不断提高。与不同数位上的数字表示不同的数的道理是一样的，在整数范围内是个位、十位、百位、千位……拓展到小数就有十分位、百分位、千分位……学习分数时，数的表示方式有所不同，虽然数的表示方式已经不是十进制，不同的分数单位表示的分数大小不同，但数的表示的道理一样。在数的抽象思维方面，不同阶段有不同的抽象水平，反映了学生抽象思维的不同阶段。数学核心素养的水平和层次划分，是一个复杂的问题，不同的核心素养也有各自的特点。

第五是持久性。持久性是指数学核心素养是关注使学生终身受益的思维品质与关键能力，不仅有助于学生对数学知识的理解与把握，而且将伴随学生进一步学习，以及将来走向生活和面向社会。在上面的案例中，数感与数的抽象是学生在小学阶段认识数所需要的能力，同样在中学乃至大学也需要这样的能力。学习数学需要抽象能力，学习其他学科也同样需要抽象思维，数学学科以外的学习，以及生活与工作中遇到的现实问题，也需要抽象思维。学会抽象的思维方式，将会伴随学生的终身。这体现了这一核心素养的持久性。

学生的数学核心素养的培养贯穿于数学教育过程的始终，正确、全面地理解数学核心素养有助于在数学教学过程中培养学生的数学核心素养，使核心素养的培养在数学学科中得到落实。具体的策略与方法需要在教学过程中不断探索和实践。

[1]林崇德.21世纪学生发展核心素养研究[M]．北京：北京师范大学出版社，2016:29．

[2]李艺，钟柏昌.谈“核心素养”[J]．教育研究，2015（9）．

[3]马云鹏，张春莉．数学教育评价[M]．北京：高等教育出版社，2003：199．

[4]洪燕君，周九诗，王尚志，鲍建生．《普通高中数学课程标准（修订稿）》的意见征询——访谈张奠宙先生[J].数学教育学报，2015（6）：35~39．

[5]史宁中．数学思想概论（1）：数量与数量关系的抽象[M]．长春：东北师范大学出版社，2008：1.

[6]吴爽．未来基础教育的顶层理念是强化学生的核心素养[J].教育家，2015（9）.

（作者单位：东北师范大学）