打破数学复习课“讲练结合”的沉闷——以“反比例函数复习”教学设计为例

□杨丽娟

（昆山市葛江中学，江苏昆山 215300）

打破数学复习课“讲练结合”的沉闷
——以“反比例函数复习”教学设计为例

□杨丽娟

（昆山市葛江中学，江苏昆山 215300）

初中数学复习课的主要任务是将所学的知识系统化，让学生灵活运用所学的知识解决问题.初中数学复习课中，可以借题梳理基础知识，归纳本质问题的解法；提炼基本图形，诠释“数形结合”思想；层层推进问题设计，融合多重知识；解决实际问题，在完整结构中体现函数味，以此打破数学复习课“讲练结合”的沉闷.

数学复习课；梳理知识；数形结合；融合知识；解决问题

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“义务教育阶段数学课程的设计，充分考虑本阶段学生数学学习的特点，符合学生的认知规律和心理特征，有利于激发学生的学习兴趣，引发学生的数学思考；充分考虑数学本身的特点，体现数学的实质.”[1]初中数学复习课的主要任务是将所学的知识系统化，让学生灵活运用所学的知识解决问题.

2016年12月8日江苏省中小学“师陶杯”教科研论文颁奖综合学术活动在南通市举行，笔者进行“反比例函数复习”的课堂教学展示，这是人教版八年级下册的内容，此前学生已经系统学习了一次函数，本节课体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式；根据反比例函数的图象和关系式 y=（k为常数，k≠0）加深理解其性质，能与正比例函数进行联系与区别；经历“问题情境——建立模型——解释、应用与拓展”的过程，感受数形结合的思想方法.结合“反比例函数复习”的课堂教学，对如何优化数学复习课的教学，打破复习课“讲练结合”的沉闷有以下感悟.

一、借题梳理基础知识 归纳本质问题的解法

复习课覆盖的“基础知识”，教师往往都是通过归纳成条文或画图表概括来梳理，这种做法教师津津乐道，学生却感觉枯燥乏味，难以激发学习热情.所以精选系列简单的典型练习，通过问题呈现反比例函数的定义和一般形式以及反比例函数的图象与性质，并通过针对性的讲解，归纳本质问题的解法，以增强知识点之间的融会贯通与理解.

知识点1反比例函数的定义和一般形式

练习1下列函数中哪些是反比例函数？

①y=3x ② y=2x2③ xy=-2

练习2若函数y=(n-1)xn2-2是反比例函数，则n=_____.

设计意图 教材上反比例函数是这样定义的：一般地，形如 y=（k为常数，k≠0）的函数叫做反比例函数.其中x是自变量，y是x的函数，k是比例系数.练习1，判断一个函数是不是反比例函数，引导学生将反比例函数的一般形式进行适当变形，得到反比例函数三种常用的表达形式：y=→y=kx-1→xy=k（k为常数，k≠0），对照这三种形式，判断哪些函数是反比例函数就易如反掌.练习2，根据反比例函数的表达形式y=kx-1（k为常数，k≠0），需要满足条件——n2-2=-1且n-1≠0.

知识点2反比例函数的图象与性质

练习5已知点A（-2，y1），B（-1，y2），C（4，y3）都在反比例函数y=k＞0）的图象上，则y1、y2与y3的大小关系（从大到小）为_____.

设计意图 教材上反比例函数的图象性质是这样叙述的：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线.当k＞0时，双曲线的两支分别在第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，双曲线的两支分别在第二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大.练习3，∵函数的图象在第二、四象限内，∴m-2＜0.练习4，常规解法——先求正比例函数y=kx的解析式，再借助方程组求两图象交点.因为正比例函数y=kx与反比例函数y=的图象都关于原点对称，所以它们的交点也关于原点对称，一个交点坐标是（3，1），那么另一个交点坐标关于原点对称是（-3，-1），这里融入了正比例函数的知识点，增强知识点之间的融会贯通与理解.练习5，点A（-2，y1），B（-1，y2），C（4，y3）不在同一象限内，单纯利用反比例函数的图象性质难以比较三个函数值y1、y2与y3的大小，根据三点在图象上的大致位置（如图1），很直观地就可以比较y1、y2与y3的大小.

图1

通过三个练习，引导学生从概念、图象、性质、对称性这几个视角研究反比例函数，以表格形式进行归纳（见表1），比教材上单纯的文字叙述来得直观.

表1

二、提炼基本图形 诠释“数形结合”思想知识点3 k的几何意义

图2

图3

设计意图 反比例函数的比例系数k的几何意义，教材上没有任何说明，但在平时的练习中出现较多，帮助学生归纳总结，做题时可以事半功倍.

图4

练习6，结合图4，利用第一张图说明，点P（m，n）是反比例函数y=(k≠0）图象上任意一点，过点P作x轴的垂线，垂足为A，则

△OAP二张图，改变点P位置，形成不同的三角形，这些三角形面积都等于|k|.

图5

练习7，结合图5，利用第一张图说明，点P（m，n）是反比例函数y=(k≠0）图象上任意一点，过点P分别作x、y轴的垂线，垂足为A、B，则S矩形OAPB=OA·AP=|m|·|n|=|k|，利用第二张图，改变点P位置，形成不同的矩形，这些矩形面积都等于 |k|.通过两个练习，让学生感受“数形结合”的数学思想，把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系联系起来，通过“以形助数”或“以数解形”实现抽象思维与形象思维相结合，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而优化解题途径.

图6

分析 将矩形OABC从图形中分离出来，经过分割提取基本图形Rt△AOF，发现SRt△AOF=

S矩形OABC，因为k＞0，SRt△AOF=k，所以S矩形OABC= 2k，由S△AOF+S四边形OEBF+S△COE=S矩形OABC，得到关于k的方程k+2+k=2k，从而解得k=2．

图7

练习8如图7，过y轴上任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数 y=-和y=的图象交于A点和B点，若C为x轴上任意一点，连接AC，BC，则△ABC的面积为___.

分析 连接OA，OB，得到△AOB，因为AB∥x轴，△AOB与△ACB同底等高，所以面积相等，而S△AOB=S△AOP+S△POB=3，因此S△ACB=3.

设计意图 函数问题中几何图形求面积，在数形结合的过程中，学生通常觉得条件难以应用．例1，通过动手实践，对图形进行割补，提取基本图形，在组合新图形的探究过程中发展学生观察分析、构造图形的能力；练习8，在求三角形面积的过程中，体会转化的数学思想.由此引导学生归纳得到函数问题中几何图形求面积常用的方法：直接计算、割补、转化，培养学生总结解题方法的能力，提高数学素养.

三、层层推进问题设计 融合多重知识

图8

（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；

（2）求△AOB的面积；

设计意图《史记》认为由易及难是善问的标志.开始就高难度的问题会把学生难倒、丧失信心；若先设置一些简单问题做铺垫，让学生尝到解决问题的乐趣，再逐渐加大难度，学生比较容易适应.在教学过程中精心设计一组有联系的、层层推进的问题，是激发学生积极思考、深入探究、系统掌握知识、培养思维能力的重要手段，学生通过这样的课堂教学，能更好地建立知识体系，灵活解决问题.

交点坐标，这题利用“数形结合”让学生感受“以形助数”的优越性；问题（4），将不等式kx+b-＜0进行简单变形为kx+b＜，结合图形轻松解决，学生对这种解题方法平时接触不多，教学中应尽量设计一些，活跃学生思维.

通过层层推进问题设计，用精心设计的一系列问题，融合多重知识，通过纵向挖掘、横向加强不同知识点间的联系，优化认知结构，提高数学学习效率.

四、解决实际问题 在完整结构中体现函数味

例3制作一种产品，需先将材料加热到60℃后再进行操作．设该材料温度为y（℃），从加热开始时间计为x（分钟）．据了解，加热时，温度y与时间x成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例关系（如图9）．已知该材料在操作加工前的温度为15℃，加热5分钟后温度达到60℃．

图9

（1）分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y与x的函数关系式；

（2）根据要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？

设计意图 章建跃博士在《数学概念的理解与教学》中说：“现在的数学概念教学很不尽如人意，一是只在代数的形式化变形及工具运算上下功夫，二是与平面几何知识点拼凑、叠加，成为一种数学游戏，使得很多函数题目的函数味道很淡.”[2]函数味就是在解决问题的过程中，关注函数变量的对应关系，在运动变化的核心内涵上做文章，不纠缠于烦琐的代数式变形和计算.

本节复习课，最后用函数解决实际生活中的数学问题，既培养了学生应用数学的能力，又能在完整课堂结构中体现函数味.例3，第（1）小题结合图象，材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系，即当0≤x≤5时，设y与x的函数关系式为：y=kx+b（k≠0），观察图象，利用点（0，15）和点（5，60）求得此函数关系式.停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例关系，即当x＞5时，设y与x的函数关系式为：y=（m≠0），观察图象，利用点（5，60）求得此函数关系式.第（2）小题，利用第（1）小题求得的两个函数关系式，分别令y=15，得到两个对应的x值，进而求得从开始加热到停止操作共经历了多少时间.

用函数解决实际问题必须结合函数图象，充分挖掘已知条件并将已知条件体现在函数图象中，利用函数图象让学生感受到对应、感受到变化、感受到直观，从而加深对函数的理解.

［1］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2011：3-4.

［2］朱玉祥.要把解题教学这盘菜做得更好吃［J］.中学数学，2014（7）：38-41.