一类可逆系统周期轨道的周期函数的单调性判断
2017-06-05吴奎霖
吴奎霖, 刘 倩
(1. 贵州大学 数学系, 贵州 贵阳 550025; 2. 西南民族大学 计算机科学与技术学院, 四川 成都 610041)
一类可逆系统周期轨道的周期函数的单调性判断
吴奎霖1, 刘 倩2
(1. 贵州大学 数学系, 贵州 贵阳 550025; 2. 西南民族大学 计算机科学与技术学院, 四川 成都 610041)
研究了一类可逆系统周期轨道的周期函数单调性问题.给出一个周期函数单调性的判别方法,并根据该判别方法证明了2个系统的周期函数是单调的.
可逆系统; 周期函数; 等时中心
微分系统的奇点q称为中心如果存在奇点q的一个邻域,使得该邻域全部由围绕奇点q的周期轨道组成.这样的最大邻域称为中心q的周期环域,通常记为P.对于一般的可积微分系统
(1)
不妨假设原点O(0,0)是系统(1)的中心,H(x,y)是其首次积分.围绕O(0,0)的周期环域记为P:={γh:H(x,y)=h,h∈Σ},其中Σ为h的极大存在区间,使得轨道γh是系统(1)的周期轨道.则周期轨道γh的周期为
(2)
称函数T(h)为系统(1)的周期函数,周期函数T(h)的极值点称为系统(1)对应中心O(0,0)的临界周期.如果周期函数T(h)是一个常值函数,即T′(h)≡0,则称中心O(0,0)是等时中心.周期函数的相关问题有很多重要的应用,例如:分支理论方面的应用[1]、Neumann问题解的存在性[2]等.研究周期函数相关性质请参见文献[3-11].
本文考虑如下解析的非哈密顿系统
(3)
假设原点O(0,0)是系统(3)的一个中心,且系统(3)有如下形式的首次积分
H(x,y)=B(x)y2+A(x).
显然,
且
是系统(3)对应首次积分H(x,y)的积分因子.这里总假设A(x)、B(x)是解析函数,且U(x)y与F(x,y)没有公因子.
对于拟二次哈密顿系统H(x,y)=A(x)+B(x)y+C(x)y2的等时性问题,A.Cima等[12]已经给出了相关的结果.根据系统(3)的首次积分形式,本文研究系统(3)的周期轨道的周期单调性问题.
假设原点O是方程(3)的非退化中心,且U(0)>0,则
B(0)≠0,A′(0)=0,B(0)A″(0)>0.
(4)
设P为原点O的周期环域.不妨设H(0,0)=0,且
H(x,y)>0, ∀(x,y)∈P{(0,0)}.
记首次积分H在周期环域P上的取值范围为(0,h0)(h0≤∞),其中H=h0是对应于周期环域的外边界.定义开区间
(xl,xr)={x∈R|∃y∈R,s.t.(x,y)∈P}.
对每个h∈(0,h0),记γh为包含于集合{(x,y)∈P|H(x,y)=h}的周期轨道,T(h)为其周期.此外,记周期轨道γh在x-轴上的投影为(x0(h),x1(h)),即
(x0(h),x1(h))={x∈R|∃y∈R,
s.t.(x,y)∈γh}.
1 主要结论的证明
在证明本文的主要结论之前需要首先介绍几个引理.
引理 1.1 考虑系统(3),则下列结论成立:
1)B(x)>0,U(x)>0,∀x∈(xl,xr);
2)A(x)>0,xA′(x)>0,∀x∈(xl,xr){0},此外,A(0)=A′(0)=0,A″(0)>0;
3)A(x)→h0,如果xxl或者xxr;
4) 周期轨道γh的周期为
(5)
其中,A(x0(h))=A(x1(h))=h.
证明 该引理的详细证明请参照文献[13].
引理 1.2 设φ:[a,b)→R是解析的,并且ψ:(a,b)×(a,b)→(0,+∞)满足下列关系
(6)
证明 该引理的详细证明请参照文献[12].
∮γhF(x)y2k-1dx=∮γhG(x)y2k+1dx,
其中
证明 详细证明请参照文献[14].
为了刻画周期函数T(h)的单调性及等时性,引入辅助函数
定理 1.1 设原点O是系统(3)的非退化中心,U(x)、A(x)和B(x)是区间(xl,xr)上的解析函数.定义函数
其中
则有:
(a) 系统(3)的周期函数是单调的,如果对任意x∈(0,xr)(x∈(xl,0)),Ψ(x)-Ψ(σ(x))定号;
(b) 原点O是系统(3)的等时中心,如果对任意x∈(0,xr)(x∈(xl,0)),
Ψ(x)-Ψ(σ(x))≡0.
证明 由周期函数定义及引理1.3,得到
对上式2边关于h求导可得
令z=g(x),则z2=A(x),且
注意g(x)=-g(σ(x)).因此对任意x∈(0,xr)(或x∈(xl,0)),Ψ(x)-Ψ(σ(x))定号,则T′(h)定号.由引理1.2可得:如果对任意x∈(0,xr)(或x∈(xl,0)),
Ψ(x)-Ψ(σ(x))≡0,
则T′(h)≡0.因此原点O是系统(3)的等时中心.
推论 1.1 设原点O是系统(3)的非退化中心,U(x)、A(x)和B(x)是区间(xl,xr)上的解析偶函数.如果
Φ(x)U(x)-B(x)≡0,
则原点O是系统(3)的等时中心.
证明 如果U(x)、A(x)和B(x)是区间(xl,xr)上的解析偶函数,则对合函数σ(x)=-x,且Ψ(x)=Ψ(σ(x)).故由定理1.1即可证明结论.
2 应用
例 2.1I.Pleshkan[15]证明了下面的系统(7)是等时系统
(7)
系统(7)的首次积分为
取
根据定理1.1直接计算可得
Φ(x)U(x)-B(x)≡0.
例 2.2 下面是一个7次的Liénard-van der Pol系统:
(8)
系统(8)有3个奇点:鞍点O(0,0)、中心P-1(-1,0)和中心P1(1,0),2个中心对应的周期环域关于y轴对称,见图1.
图 1 系统(8)的相图
系统(8)的首次积分为
首先作变换X=x+1把中心P1平移到原点.中心P1对应的周期环域的周期函数为
取U(X)=1,B(X)=1/2,根据定理1.1直接计算可得
令Z=σ(X),则由
可知
Q(X,Z)=2X+X2+2Z+Z2≡0,
其中
P(X,Z)=2X2(1+X)3(2+X)3+
2X(1+X)4(2+X)3Z+
(1+X)3(2+X)3(2+2X+X2)Z2+
(3+X)(2+2X+X2)×
(12+18X+15X2+6X3+X4)Z3+
(2+2X+X2)(66+63X+33X2+9X3+X4)Z4+
(2+2X+X2)(63+33X+9X2+X3)Z5+
(2+2X+X2)(33+9X+X2)Z6+
(9+X)(2+2X+X2)Z7+(2+2X+X2)Z8.
要证明Ψ(X)-Ψ(Z)在区间(-1,0)或(0,+∞)定号,只需证明多项式P(X,Z)与Q(X,Z)没有公共零点即可.用数学软件Mathematica计算多项式P(X,Z)与Q(X,Z)关于变量Z的结式得到
Resultant[P,Q,Z]=X6(2+X)6×
(8-20X2-20X3+11X4+32X5+24X6+8X7+X8).
容易判断代数方程Resultant[P,Q,Z]=0在区间(-1,0)或(0,+∞)没有实根.根据结式的性质可知多项式P(X,Z)与Q(X,Z)没有公共零点.从而可证明Ψ(X)-Ψ(Z)在区间(-1,0)或(0,+∞)定号.因此,根据定理1.1,就证明了系统(8)的2个周期环域所对应的周期函数都是单调的.
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2010 MSC:34C07; 34C08; 34C25
(编辑 周 俊)
Monotonicity for Period Function of Periodic Orbits of a Class of Reversible Systems
WU Kuilin1, LIU Qian2
( 1.DepartmentofMathematics,GuizhouUniversity,Guiyang550025,Guizhou;
2.SchoolofComputerScienceandTechnology,SouthwestUniversityforNationalities,Chengdu610041,Sichuan)
In this paper we deal with the monotonicity of the period functions of periodic orbits for a class of reversible systems. We give a criteria for monotonicity of period function. Applying this criteria to the period functions of two systems, we prove their monotonicity.
reversible systems; period function; isochronous center
2016-07-11
国家自然科学基金(11661017)和贵州省科学技术基金(黔科合J字[2015]2036号)
吴奎霖(1981—),男,副教授,主要从事微分方程定性理论的研究,E-mail:wkuilin@163.com
O123.4
A
1001-8395(2017)03-0324-04
10.3969/j.issn.1001-8395.2017.03.009