半线性椭圆方程Neumann问题的无穷多解
2017-06-05何勇,徐博
何 勇, 徐 博
(重庆科技学院 数理学院, 重庆 401331)
半线性椭圆方程Neumann问题的无穷多解
何 勇, 徐 博
(重庆科技学院 数理学院, 重庆 401331)
假设Neumann边值问题中非线性项是次线性的,利用Ekland变分原理,得到2列无穷多解.
Neumann问题; Ekland变分原理; 次线性; 振荡; 极小极大方法
1 引言和主要结果
考虑下述Neumann边值问题:
(1)
令非线性项f(x,t)是次线性的,即存在g∈Lr(Ω;R+),h∈Lq(Ω;R+)和α∈[0,1]使得
|f(x,t)|≤g(x)|t|α+h(x).
(2)
或者
定理 1 假设f(x,t)满足(2)式,进一步假设
(3)
且
(4)
(I) 存在一列解(un),任意的un都是泛函φ的极小极大型临界点,且当n→∞时,φ(un)→+∞;
推论 1 假设f(x,t)满足(2)式,进一步假设
(5)
且
(6)
则有:
(I) 存在一列解(un),任意的un都是泛函φ的极小极大型临界点,且当n→∞时,φ(un)→+∞;
注 1 文献[12]在解决2点边值问题时,考虑到了条件振荡,且假设非线性项是有界的.本文的定理1给出了关于Neumann边值问题的新的可解性条件.另一方面,存在泛函F(t,x)满足定理1的条件但不满足先前其它文献中的假设.例如:令α=1/2和
其中j∈L1(Ω;R).
2 定理的证明
令H1(Ω)为有如下等价范数的Soblev空间
‖u‖L2≤C‖u‖, ‖u‖Lp≤C‖u‖,
其中u∈H1(Ω).
定义H1(Ω)上的泛函φ如下:
其中u∈H1(Ω).在次线性条件(2)下,泛函φ连续可微且在H1(Ω)上弱下半连续,而且有
其中u,v∈H1(Ω).众所周知,当且仅当u是φ的临界点时,u∈H1(Ω)是问题(1)的解.
φ(u)→+∞.
证明 由条件(2)和Hölder不等式有
令ε=1/4C2,有
其中C2、C3和C4是正常数.由条件(4)和上述引理得证.
定理1的证明 令
并定义
因此,由cn≥M和引理2,对于较大的n,
对于这样的n,存在Sn上的序列(γk)使得当k→∞时
由文献[14]的定理4.3知:存在H1(Ω)中的序列vk,使得当k→∞时有
φ(vk)→cn,
dist(vk,γk([0,1]))→0,
φ′(vk)→0.
现在,证明vk在H1(Ω)是有界的.对于足够大的k有
且有wk∈γk([0,1])使得
‖vk-wk‖≤1.
此外
由此不等式和引理3有
因此得到定理1的(I)结论.
对于一个固定的n,定义H1(Ω)的子集Pn如下:
对于u∈Pn有
其中C8、C9和C10为正常数.从而得到φ在Pn中是有界的.
定义
令(uk)是Pn上的极小化序列,即当k→∞时,
φ(uk)→un.
由上述不等式知:(uk)在H1(Ω)上有界,故uk中至少存在一个子列是有界的,仍记为uk.假设
因为φ是弱下半连续的,所以
由引理2可得
定理1证毕.
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2010 MSC:35R10
(编辑 周 俊)
Infinitely Many Solutions of Neumann Problem for Semilinear Elliptic Equations
HE Yong, XU Bo
(DepartmentofMathematicsandPhysics,ChongqingUniversityofScienceandTechonology,Chongqing401331)
By applying Ekland’s variational principal, we get two sequences of solutions for the Neumann boundary value problem when the nonlinearity is sublinear.
Neumann problem; Ekeland’s variational principle; sublinear; oscillating; minimax methods
2016-05-13
重庆市教委科学技术研究项目(KJ1713339)
何 勇(1982—),男,讲师,主要从事概率统计方向的研究,E-mail:heyongmath@163.com
O175.8
A
1001-8395(2017)03-0316-04
10.3969/j.issn.1001-8395.2017.03.007