位值制

张新春

讨论位值制，我们应先区分位值制与进位制。事实上，相对于位值制而言，进位制出现得更早，更普遍。从某种意义上说，进位制是对刻痕记数的直接改进———刻痕记数，数是多少就刻多少道痕，对大数尤其是比较大的数而言，显然不方便，于是很容易想到进位制。所谓进位制，就是以P个数组成一个新的单位，用一個新的符号表示。P个新的单位又组成一个更高的单位，用另一个符号表示。我们就把这个叫做P进制。P叫做进位的基。“如不算最原始的刻痕记数，古今中外的记数法都是进位制的”（梁宗巨，《世界数学通史》，辽宁教育出版社），而位值制则是在进位制的基础上，对如何处理新的单位想到了漂亮的办法。以下即详述这种办法。

我们不难发现，前面叙述的加法累数制的罗马记数和乘法累数制的中国记数有一个共同特点：新的单位必须创造新的名称———无论是罗马的“X”和中国的“十”，都是表示新的单位的符号。而位值制的漂亮在于不需要创造新的符号表示新的单位。比如，表示“20”，不需要写成“XX”或“二十”，只需要把表示“2”的符号写到表示“十”的位置上即可。同样是这个“2”，还可以表示“200”，或“2000”……一个数码表示什么数值，就看它在什么位置上，这就是位值的含义。

中国算筹记数与位值制雏形

中国算筹记数法非常接近位值制。古代的算筹实际上是一根根同样长短和粗细的小棍子，一般长为13～14cm，径粗0.2～0.3cm，多用竹子制成。也有用木头、兽骨、象牙、金属等材料制成的。大约二百七十几根为一束，放在一个布袋里，系在腰间随身携带，需要记数和计算时就取出来。

在算筹记数法中，以纵横两种排列方式表示单位数目，其中1～5分别用纵横方式排列相应数目的算筹表示，6～9则以上面的算筹加下面相应的算筹表示，此时上面的一根表示5（如下图所示）。

如前面所述，当前通用的数字为阿拉伯数字，但使用何种数字却并非十进位值制的实质。比如，我们可以用零、一、二、……九表示，4785就表示为“四七八五”。事实上，阿拉伯数字刚传到欧洲，即引起当时的大数学家斐波拉契的高度关注。他在其名著《算盘书》中写道：“这里的印度9个数字9，8，7，6，5，4，3，2，1，还有一个阿拉伯人称之为零的符号0，可以把任何数表示出来，实在是一种理想的计数符号。”正是基于这种认识，他号召欧洲人用这种数字取代罗马数字。随后又经过诸多曲折，阿拉伯数字终于在16世纪得到广泛的应用。

位值制记数法最重要的优点之一就是便于计算。“其计算规则可以用这些数字的加法表和乘法表的形式来表示，而且一旦记住，便可永远运用自如。古代的计算技巧一度只限于少数专家所掌握，而现在则是小学里的课程了。像这样的科学进步对日常生活有如此深刻影响，并带来极大方便的例子还不是很多”（[美]R·柯朗，H·罗宾，《什么是数学》，复旦大学出版社，2008）。

于是，在十进位值制记数法之下，在运算定律的支持下，任意两个数相加，通过以上竖式的计算程序（法则），可以转化成一系列20以内加法的组合。而20以内的加法原则上都是需要记忆的。因此，在20以内加法的教学过程中，不管我们如何确定教学目标，“接受”“记忆”是必须的方法。一定的计算速度是必要的目标，不能简单地将“接受”和“记忆”等同于“落后”。

对于乘法，也完全类似。有了十进位值制记数法，在乘法交换律、结合律以及分配律的支持下，任意两数相乘都可以通过一定的程序（法则）转化为一系列表内乘法和加法的组合。这里的程序（法则）可以用我们熟悉的乘法竖式表示，而表内乘法正如20以内的加法一样，都是需要记忆的。于是，乘法口诀的教学也一样，其最根本的目标是口诀能脱口而出。