渐开线直齿圆柱齿轮修形优化探讨

孙禹锋+陈凤腾+韦欣

摘要：为了减小齿轮啮合过程中的接触应力，在传统齿廓修形理论的基础上，以嚙合齿轮的传动误差最小为目标函数，应用遗传算法对齿轮的修形参数进行优化，同时采用有限元分析的方法对修形前后的齿轮进行对比分析。结果表明，在确保满足齿轮传误差最小的条件下，用该方法确定的齿轮优化修形参数，可以减小齿轮啮合过程中的齿根处44.43%接触应力。

关键词：直齿圆柱齿轮；遗传算法；有限元分析；传动误差；接触应力 文献标识码：A

中图分类号：TH123 文章编号：1009-2374（2017）07-0037-03 DOI：10.13535/j.cnki.11-4406/n.2017.07.017

齿轮传动是机械传动中重要的传动之一，而实际齿轮的传动往往受到齿轮失效因素的影响，因此提出齿轮齿廓修形来减小齿轮变形对传动产生的影响。国内外不少学者对齿轮齿廓修形进行了大量研究，Muthusamy Nataraj利用ANSYS软件建立啮合齿轮，并分析齿轮修形前后的应力变化及分布；国内的杨延力、周志峰等人详细地给出了齿轮齿廓修形参数的计算方法；孙建国基于有限元计算齿轮修形对啮入冲击的影响。

上述研究虽然提出了齿轮修形参数的确定方法，但是没有考虑实际状况造成齿轮的传递误差对修形参数的影响。而在实际应用中，传动齿轮由于振动而引起疲劳断裂的可能性会急剧增加，严重危及了传动齿轮的寿命。故本文以齿轮齿廓修形为基础，采用遗传算法，以减小齿轮传动误差波动为目标，优化齿轮修形参数，并应用ANSYS软件对优化前后齿轮分析和验证。

1 渐开线齿轮修形参数

齿轮齿廓修形的具体操作方法就是把原来的渐开线齿廓在接近齿根圆角或者齿顶的地方修去很小一部分，使其偏离理论齿廓。该修形可减轻主动轮与从动轮之间，由受载变形所引起的啮合冲击以及传动误差。

目前齿轮齿廓修形通常有以下两种方法：一种方法是在一个齿轮的齿顶和齿根上进行修形，相啮合的另一个齿轮不进行修形；另一种方法是同时对啮合齿轮进行修形。齿廓修形主要围绕图，中三个基本要素最大修形量、修形长度和修形曲线展开。三要素的修形示意图如图1所示：

本文选择传动误差最小为优化的目标，可以化简计算的过程，在结合袁哲等人的方法前提下，对齿轮修形三要素进行改进。令主从动齿轮的最大修形量分别为和，修形角度分别为和，使齿轮修形参数如图2所示。

设m为齿轮模数，则齿轮齿形修整量一般为0.02m以下，修整高度为0.6m以下。把修整高度换算成修形角度，得到修形角度和修形量的最大值分别为64.331m和0.06m，最小值为应用遗传算法在0.01和10范围内搜索最佳修形量。

2 确定优化目标函数

为了让传动误差最小，为此将其作为目标函数，应用单目标遗传算法进行优化求解。

遗传算法是一种自适应全局优化概率搜索算法，应用算法求解问题时，在编码规则、适应度函数和遗传算子确定以后，算法能够利用计算过程中解的变化自动发现空间的特征和规律。遗传算法具有实用、高效、鲁棒性强等优点，并且在解决非线性、多目标优化等模型上体现出较好的性能，适合齿轮齿廓修形的优化设计。

适应度函数：由于本文研究的是最小值问题，因此设置适应度函数与目标函数相同，适应度函数值越高的染色体被选中的机会越大。

复制：遗传算法中的复制是指从种群中选择生命力强的个体，并将其遗传到下一代的过程，本文中该过程可以选择采用俄罗斯轮盘赌法即通过每个个体的选择概率，计算累计概率。第k个个体的累计概率为。然后产生0到1之间的随机数e与进行比较来决定选择个体。

交叉：交叉现象模拟了生物进化中的繁殖现象，通过两个旧的染色体的交叉互换产生新的染色体。本文采用随机的方式在两个染色体之间随机选择两个点位进行互换。

变异：变异运算模拟生物在自然繁殖过程中由于偶然因素引起的突变，若没有，则无法在初始基因组合以外的空间进行搜索，将会使算法陷入早期局部最优解而终止运算。定义为变异操作的概率，本文中取变异概率。即每次染色体交换以后，通过变异算子以概率随机反转任意一个基因位的二进制字符，产生新的染色体。

3 计算实例与讨论

3.1 原始齿轮应力分析

在建立一对渐开线啮合齿轮的三维模型，其中齿轮基本参数模数m=4，齿数z=20，其他参数如表1所示，将完成的模型导入ANSYS软件中。

齿轮动态瞬时接触分析基本参数设置如下，齿轮材料为结构刚、使用默认的网格划分方法，并对齿轮啮合面处使用sizing进行网格细化。

3.1.1 边界条件进行设置：设定转动副载荷，主动轮转动副载荷设置为转速；从动轮转动副载荷设置为转矩，分别为、。

3.1.2 接触函数的选择与设置：本文齿轮啮合表面接触函数选择为加强拉格朗日函数，摩擦系数设置为0.2；法向刚度因子FKN，由于齿轮的接触主要为体格体积上的问题，因此FKN参数选择为1。

设置完成后，点击求解得到如图3所示的应力云图：

从图3中可以很明显看到齿根处的应力为74.594。说明齿根处受到了很大的应力，极有可能造成齿根断裂等失效现象。

3.2 齿轮修形参数优化计算

在确定了理论修形量之后，还应该通过上文建立的遗传算法模型结合实际的模拟，确定最佳修形量。对于最佳修形量的确定，本文在理论修形量0.014mm的基础上，通过每次增加0.001mm和减少0.001mm的方法改变遗传算法中最大修行量的取值范围，分别做4组，如表2所示最大修形量取0.010～0.017mm，然后利用遗传算法模型对各组进行优化搜索，得到各值如表2所示。选择Walker修形曲线的齿廓参数方程，对原齿轮进行齿廓修形，Walker修形曲线的表达式为：

通过比较各组数据可以发现当=66.375，既传统修形量为0.016mm时，以齿根处的应力最小为45.588MPa，减小了31.32%。说明修形后齿根处受应力已经得到的显著的减小。此时，修形后齿轮齿根受力云图如图4所示：

4 结语

（1）转化了齿轮修形基本参数，将其与遗传算法进行结合，考虑了以传动误差最小为目标，精确快速地确定齿轮的修形参数从结果显示，优化设计后的修形参数能够较大幅度地减小齿轮的应力；（2）分别建立了标准渐开线齿轮和修形齿轮的瞬时动态有限元分析模型，仿真齿轮啮合中应力变化。对比多次修形前后齿轮的应力减少，得到当，齿根处的最大应力从61.2991MPa下降为45.588MPa，效率为31.32%，即传统修形量为0.016mm时修形效果最好。

参考文献

[1] Muthusamy Nataraj.Profile modification-a design approach for increasing the strength in spur gear[J].int J Adv Manuf Tecchnol，2011.

[2] 杨延力，叶新，王玉璞.渐开线高速齿轮的齿高修形[J].齿轮，1982，（3）.

[3] 周志峰.渐开线圆柱直齿轮修形的分析与研究[D].北京交通大学，2014.

[4] 兰明.渐开线圆柱直齿轮的参数化修形[D].太原理工大学，2011.

[5] 孙建国，林腾蛟.漸开线齿轮动力接触有限元分析及修形影响[J].机械传动，2008，32（2）.

[6] 袁哲，孙志礼，王丹，陈聪慧.基于遗传算法的直齿圆柱齿轮修形优化减振[J].东北大学学报（自然科学版），2010，（6）.

[7] 赵越，茹婷婷.遗传算法理论与应用新探[J].轻工科技，2014，（1）.

[8] 马永杰，云文霞.遗传算法研究进展[J].计算机应用研究，2012，（4）.

[9] 边霞，米良.遗传算法理论及其应用研究进展[J].计算机应用研究，2010，（7）.

作者简介：孙禹锋（1995-），男，浙江人，徐州工程学院机电工程学院本科学生，研究方向：机械CAD/CAE。

（责任编辑：黄银芳）