数学文化高考题举隅(Ⅲ)*

2017-06-05北京丰台二中100071甘志国

中学数学研究(广东) 2017年7期

关键词：考试题理科评析

北京丰台二中(100071) 甘志国

数学文化高考题举隅(Ⅲ)*

北京丰台二中(100071) 甘志国

2 以世界名题为背景的数学文化高考试题

2.1 3x+1问题

题目44 (2009年高考湖北卷理科第15题)已知数列{an}满足:a1=m(m为正整数),

若a6=1,则m所有可能的取值为____.

解4,5,32.由a6=1,得a5=2,a4=4,a3=1或8,a2=2或16,a1=4或5或32.

评析题44的背景是世界数学难题、名题3x+1问题(也称克拉茨问题、叙拉古问题、角谷猜想).

对于任意给定的正整数,连续进行如下运算:如果它是偶数,就除以2,若还是偶数,就再除以2,……直至得到奇数,如果这个奇数不是1,就把这个奇数乘以3再加上1,这样得到的结果又为偶数,就再除以2,这样不断地运算下去,直至得到1为止.问题就是:对于任一正整数,进行上述运算,经过有限步后都能得到1吗?

据说,耶鲁大学有长达一个月之久,人人都在研究这个问题,但却没有任何实质性的进展.经过几十年的探索与研究,人们似乎接受了大数学家爱尔特希的说法:数学还没有成熟到足以解决这样的问题.

下面的题45的背景也是3x+1问题.

题目45 (2013年高考湖北卷理科第12题)阅读如图42所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果i=___.

答案5.

2.2 数学黑洞问题

题目46 (2014年高考湖北卷理科第13题)设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数,将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I(a),按从大到小排成的三位数记为D(a)(例如a=815,则I(a)=158,D(a)=851).阅读如图43所示的程序框图,运行相应的程序,任意输入一个a,输出的结果b=____.

答案495.

评析题46的背景是数学黑洞问题,详见文献[11].2015年高考数学北京卷理科第20题的背景是数学黑洞问题[12]. 3x+1问题就是猜测其是数学黑洞问题.

图42

图43

2.3 充满猜想的回文数

题目47 (2012年高考湖北卷理科第 13题)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数. 如 22,121,3443,94249等. 显然 2位的回文数有 9个:11,22,33,...,99. 3位回文数有 90个: 101,111,121,...,191,202,...,999.则

(1)四位回文数有___个;

(2)2n+1(n∈N)位回文数有____个.

答案(1)90;(2)9×10n.

评析虽说题47考查的是排列组合的一道简单题目,但起到了良好的科普宣传作用(回文数是数学家也感到很陌生的数,其中有很多世界难题等待着有识之士去攻克.详见文献[13].

2.4 四色问题

题目48 (2003年高考全国卷I卷理科第15题即文科第16题)如图44,一个地区分为5个行政区域,现给地图着色,要求相邻地区不得使用同一颜色,现有4种颜色可供选择,则不同的着色方法共有___种(以数字作答).

图44

解由题意知,可选用3种颜色或4种颜色来着色.

若用3种颜色,须先把5个行政区域分成3组且每组能用同一种颜色着色.可得只有一种分组方法:1,(2,4),(3,5).此时得着色方法共有=24(种).

若用4种颜色,须先把5个行政区域分成4组且每组能用同一种颜色着色.可得只有两种分组方法:1,2,4,(3,5); 1,(2,4),3,5.此时得着色方法共有(种).

所以所求答案是24+48=72.

题目49 (2008年高考全国卷I理科第12题)如图45,一环形花坛分成A、B、C、D四块.现有4种不同的花供选择,要求在每块里种1种花,且相邻的2块种不同的花,则不同的种法总数为( )

图45

A.96 B. 84 C. 60 D.48

解B.解法全同题目48,共有种种法.

评析“地图着色”问题的背景是四色猜想:对于任意的平面地图或球面地图,只需四种颜色就可把相邻的区域区分开来.此猜想在上世纪七十年代借助计算机已给出了证明,但至今却没有纯数学的证明,用纯数学的方法只证得五种颜色足够.所以,寻求四色猜想的纯数学证明仍是数学界的努力方向.据说,爱因斯坦(Albert Einstein,1879～1955)的数学导师闵可夫斯基(Hermann Minkowski,1864～1909)就曾在课堂上给学生讲述过四色猜想的证明,终因难度大而挂了黑板.

因为“地图着色”问题有这样的历史背景,所以此种题型受到了命题专家的青睐,文献[14]给出了这种问题的统一解法.

2.5 正整数等幂和

题目50 (2008年高考湖北卷理科第15题)观察下列等式:

可以推测,当k≥2(k∈N∗)时,

解可猜测归纳出答案.

评析题50是数学史上有名的正整数方幂和问题,我国著名数学家陈景润(1933～1996)就研究过此类问题,拙著[15]也研究了这类问题.

2.6 调和级数与欧拉常数

(2)猜测数列{an}是否有极限?如果有,写出极限的值;

(3)试确定一个正整数N,使得当n＞N时,对任意

答案(1)略.(2)有极限,且可取N=1024.

题目52 (2010年高考湖北卷理科第21题)已知函数的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y=x−1.

(1)用a表示出b,c;

(2)若f(x)≥lnx在[1,+∞)上恒成立,求a的取值范围;

2.7 伯努利不等式

题目53 (2007年高考湖北卷理科第21题)已知m,n为正整数.

(1)用数学归纳法证明:当x＞−1时,(1+x)m≥1+mx;

(3)求出满足等式3n+4m+...+(n+2)m=(n+3)n的所有正整数n.

答案(1),(2)略.(3)2,3.

评析题 53第 (1)问是伯努利 (Daniel Bernoulli, 1700～1782)不等式,第(3)问是数论中的不定方程问题,它有勾股定理、费马(Pierre de Fermat,1601～1665)大定理、埃斯柯特(Escott)猜想的背景,详见文献[3],[18]-[20].

题目54 (2012年高考湖北卷理科第22题)(1)已知函数f(x)=rx−xr+(1−r)(x＞0),其中r为有理数,且0＜r＜1.求f(x)的最小值;

(2)试用(1)的结果证明如下命题:

设a1≥0,a2≥0,b1,b2为正有理数.若b1+b2=1,则(3)请将(2)中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法证明你所推广的命题.

注:当a为正有理数时,有求导公式(xa)′=axa−1.

题目55 (2013年高考湖北卷理科第22题)设n是正整数,r为正有理数.

(1)求函数f(x)=(1+x)r+1−(r+1)x−1(x＞−1)的最小值;

题目56 (2016年高考全国卷III文科第21题)设函数f(x)=lnx−x+1.

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)证明当x∈(1,+∞)时,1

(3)设c＞1,证明当x∈(0,1)时,1+(c−1)x＞cx.

评析这里先给出题目56(3)的直接证明:

设h(c)=1+(c−1)x−cx(c＞1),可得h′(c)=x(c0−cx−1)＞0(0＜x＜1,c＞1)所以h(c)是增函数,得h(c)＞h(1)=0,1+(c−1)x＞cx(c＞1).

题目56(3)问的背景是伯努利不等式.

普通高中课程标准实验教科书《数学·选修4-5·A版·不等式选讲》(人民教育出版社2007年第2版)第51页例3介绍的“贝努利(Bernoulli)不等式”的一般情形是:设t≥−1,则当0＜α＜1时,(1+t)α≤1+αt;当α＜0或α＞1时,(1+t)α≥1+αt.

在结论“(1+t)α＜1+αt(t＞0,0＜α＜1)”中,令t=c−1(c＞1),α=x(0＜x＜1),立得题56(3)的结论.

题54(1)及题55(1)的背景也都是伯努利不等式.

3 以浓厚的时代气息为背景的数学文化高考试题

笔者发现有不少高考题都有浓浓的时代气息,让数学贴近生活、宣传科学.实际上,这也是数学文化的一个重要方面.

下表列举出了高考数学湖北卷中的这方面部分题目:

题号高考数学湖北卷中题目的题号该应用题的时代气息1) 2007年理科第15题即文科第15题因当时全球流感猖獗,本题就适时介绍了预防流感而采取的一种药熏消毒法,起到了良好的宣传、指导作用. 2) 2008年理科第6题3) 2008年理科第10题即文科第10题4) 2009年理科第13题这三道题与2008年中国的三件大事“北京奥运会、神七升空、汶川地震”的两件有关.普通高中课程标准实验教科书《数学·A版·必修1》(人民教育出版社,2007年第2版)第66-67页的例5介绍了地震的里氏震级.文献[21]也对里氏震级予以了介绍. 5) 2008年理科第20题中国地理环境复杂,水资源缺乏,人均水资源更是奇缺,本题有此情境,也宣传国人应当节约用水. 6) 2009年文科第4题介绍了志愿者参加公益活动这一新时代的特点. 7) 2009年理科第8题即文科第8题本题的时代气息是“家电下乡”这一惠农政策. 8) 2010年理科第8题本题以当年中国的大事、盛事“上海世博会”为背景,还宣传、介绍了“志愿者服务活动”. 9) 2010年理科第17题本题以当前全世界关注的焦点问题“节能减排、低碳经济”为背景,起到了良好的宣传作用. 10) 2011年文科第15题当时地震频发,本题宣传了地震震级的有关知识. 11) 2011年理科第17题即文科第19题本题宣传了当前城市交通的拥堵状况,从数学角度也给出了一种解决方案.

我们再列举几道高考数学非湖北卷中的这方面部分题目:

题目57 (2013年高考上海卷理科第16题)钱大姐常说“便宜没好货”,她这句话的意思是:“不便宜”是“好货”的( )

A. 充分条件 B.必要条件

C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件

解B.“便宜⇒没好货”等价于“好货⇒不便宜”.

评析这是一道源于生活的简易逻辑题:生活就是数学,数学就是生活!

关于生活中的有趣命题,读者还可浏览文献[22].

题目58 (2016年高考上海卷文科、理科第20题)有一块正方形菜地EFGH,EH所在直线是一条小河,收获的蔬菜可送到F点或河边运走.于是,菜地分为两个区域S1和S2,其中S1中的蔬菜运到河边较近,S2中的蔬菜运到F点较近,而菜地内S1和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等.现建立平面直角坐标系,其中原点O为EF的中点,点F的坐标为(1,0),如图46所示.

(1)求菜地内的分界线C的方程;

图46

(2)菜农从蔬菜运量估计出S1面积是S2面积的两倍,由此得到S1面积的“经验值”为设M是C上纵坐标为1的点,请计算以EH为一边,另一边过点M的矩形的面积,及五边形EOMGH的面积,并判断哪一个更接近于S1面积的“经验值”.

答案(1)y2=4x(0＜y＜2).

评析本题的情景也指出了数学在生活中的指导作用(详见文献[23]).

题目59 (2006年高考北京卷文科、理科第8题)图47为某三岔路口交通环岛的简化模型,在某高峰时段,单位时间进出路口A,B,C的机动车辆数如图47所示,图中x1,x2,x3分别表示该时段单位时间通过路段的机动车辆数(假设:单位时间内,在上述路段中,同一路段上驶入与驶出的车辆数相等),则( )

图47

A.x1＞x2＞x3B.x1＞x3＞x2

C.x2＞x3＞x1D.x3＞x2＞x1

解C.依题意,有x1=50+x3−55=x3−5,所以x1＜x3;同理x2=30+x1−20=x1+10,所以x1＜x2;同理,x3=30+x2−35=x2−5,所以x3＜x2,.得x2＞x3＞x1.

评析本题虽然能列出三个方程,但不能求出x1,x2,x3的值,说明此题编的巧妙.这道题是生活中的交通拥堵问题.

题目60 (2012年高考北京卷第文科、理科第17题)近年来,某市为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨):

厨余垃圾箱可回收物箱其他垃圾箱厨余垃圾400 100 100可回收物30 240 30其他垃圾20 20 60

(1),(2)略;

(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a,b,c,其中a＞0,a+b+c=600,当数据a,b,c的方差s2最大时,写出a,b,c的值 (结论不要求证明),并求此时s2的值.(注:其中x¯为数据x1,x2,...,xn的平均数.)

答案(3)当a=600,b=c=0时,s2取最大值,……且最大值是80000.

评析这道概率统计高考试题真可谓不可多得:注重概念,考查本质;多考点想,少考点算.本题是生活中的垃圾分类问题.

题目61 (2013年高考北京卷第16题)图48是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天.

图48

(1)(理)求此人到达当日空气重度污染的概率;(文)求此人到达当日空气质量优良的概率;

(2)(理)设X是此人停留期间空气质量优良的天数,求X的分布列与数学期望;(文)求此人在该市停留时间只有1天空气重度污染的概率;

(3)(文理)由图48判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)

答案(1)(理)

(2)(理)X的分布列及期望分别为:

X0 1 2P5 4 4 13 13 13

(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.

评析本题紧扣时代脉搏,是首都北京当前极为关注的空气质量问题.

下面,我们再来欣赏笔者编拟的四道原创数学文化高考模拟题:

题目62 中国自古便有十天干(即甲,乙,丙,丁,戊,己,庚,辛,壬,癸)与十二地支(即子,丑,寅,卯,辰,巳,午,未,申,酉,戌,亥).天干地支纪年法,是把天干中排奇数号的(即甲,丙,戊,庚,壬)与地支中排奇数号的(即子,寅,辰,午,申,戌)任意搭配,但天干在前地支在后(比如甲子,甲寅等等);或把天干中排偶数号的(即乙,丁,己,辛,癸)与地支中排偶数号的(即丑,卯,巳,未,酉,亥)任意搭配,也是天干在前地支在后.

(1)在天干地支纪年法中,共有___种情形;

(2)人们还发明了由公元纪年(不包括公元3年以前的情形)计算出其天干地支纪年的方法:先用公元纪年数减去3后再除以10所得的余数就是所对应的天干(对应法则是1, 2,3,4,5,6,7,8,9,0分别对应甲,乙,丙,丁,戊,己,庚,辛,壬,癸),再用公元纪年数减去3后再除以12所得的余数就是所对应的地支(对应法则是1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,0分别对应子,丑,寅,卯,辰,巳,午,未,申,酉,戌,亥).用这种算法可得公元2017年也是丁酉年.已知G先生生于公元1972年2月某日,请问G先生生于天干地支纪年中的____年.

解(1)60.由分步乘法计数原理可知,奇数号的搭配是5×6种情形,偶数号的搭配也是5×6种情形.所以所求答案是5×6×2=60.

(2)壬子.

题目63 在我国的二十四节气(春雨惊春清谷天,夏满芒夏暑相连,秋处露秋寒霜降,冬雪雪冬小大寒)中,单数的叫节气,双数的叫中气,并按中气的顺序确定月序,比如第一个中气是雨水,所以凡是有雨水的月就是正月;第二个中气是春分,所以凡是有春分的月就是二月.二十四节气的公历日期是比较稳定的,比如雨水在2月18～20日,春分在3月20日～22日,夏至在6月21日～22日.有雨水的月是正月,但雨水在正月的哪一天并不是固定的.从理论上来说,雨水可以在正月中的任意一天.请问:从理论上来说,春节的公历日期范围是____月____日～____月____日.

解1,20,2,20.若正月初一是雨水,则可得公历最晚的春节是2月20日(1920年和1985年的2月20日都是春节,并且又是雨水);若正月三十是雨水,则可得公历最早的春节是元月20日(正月三十是雨水2月18日,正月十三是2月1日,正月十二是元月31日,正月初一是元月20日;笔者在文献[24]中查得:在1920～2040年中,公历最早的春节是1966年元月21日,这一年2月19日是雨水,也是正月30).

(关于此题的背景可详见拙文[25].)

题目64 18位身份证标准在国家质量技术监督局于1999年7月1日实施的GB11643-1999《公民身份号码》中做了明确的规定.身份证号码共18位数字,前六位数字是地址码(其中头两位数字是省级行政区的代码,中间两位数字是地级行政区的代码,最后两位数字是县级行政区的代码),接下来的八位数字是出生日期码(其中头四位数字是出生的年份,再两位数字是出生的月份,最后两位数字是出生的日期),再接下来的三位数字是顺序码(是计算机随机产生的,但男性的这三位数字的最后一位是奇数,女性的则是偶数),最后一位数字是校验码.校验码是由前面的十七位数字计算出来的.具体的算法是:先用前17位数字分别与7,9,10,5,8,4,2,1,6,3,7,9,10,5,8,4,2(这几个数分别是217,216,215,214,213,212,211,210,29,28,27,26,25,24,23,22,21除以11所得的余数)相乘再求和,再求出求得的和被11除所得的余数,最后由下面的表格找到这个余数对应的数,该数就是该身份证的校验码:

余数0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10校验码1 0 X 9 8 7 6 5 4 3 2

班主任G曾遇到了不少学生在填表时不知道自己身份证号码的最后一位的情形,并且教他们用上面的方法都轻松解决了.比如,g同学只知道自己身份证前17位号码是42032420010125,则g同学身份证号码的最后一位号码是____;l同学只知道自己身份证前17位号码是11010619970214035,则l同学身份证号码的最后一位号码是____.

解X,9.

第一空:先用g同学身份证号码的前17位数字分别与 7,9,10,5,8,4,2,1,6,3,7,9,10,5,8,4,2相乘再求和: 4×7+2×9+0×10+3×5+2×8+4×4+2×2+0×1+0×6+ 1×3+0×7+1×9+2×10+5×5+0×8+0×4+1×2=156.再求出求得的和156被11除所得的余数是2,最后由上面的表格找到余数2对应的数是X,得X就是g同学身份证的校验码即最后一位号码.

第二空:同理可求.

(关于此题的背景可详见拙文[26];关于书号、刊号的校验码,读者还可浏览[27].)

最后,再略谈一下关于数学文化高考试题的备考策略:

(1)要重视阅读理解.比如老师在教学时要带领学生读题、摘录题目已知条件,做好审题环节,而审题的第一步又是读题,但要研读、精读,绝不是语文中的“大阅读”、“快速浏览”,这样只会把题目做错.

(2)要做有心人.若有时间的话,尽可能的浏览一点中国古代数学名著,做一点历年的数学文化高考试题,关注一些生活问题,特别是社会热点:垃圾分类、交通拥堵等等.

(3)要有平常心.一般来说,数学文化高考试题都是中档题,不会太难为考生,把这些问题提炼后都是常见的数学问题,这也说明数学文化高考试题与其他数学高考试题没有本质的区别,所以若时间很紧的话,就不必要刻意准备.

[1]张奠宙.多一点数学文化的考题[J].数学教学,2015(9):封底

[2]甘志国.高考压轴题(上)[M].哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社, 2015.28-29

[3]甘志国.湖北高考数学卷与世界名题相通[J].数学教学,2009(11): 46-48

[4]甘志国.为2010年的高考数学湖北卷叫好[J].数学通讯,2010(8下):46-50

[5]甘志国.中国古代杰出的布衣数学大师刘徽[J].新高考(高一·数学(必修1)),2016(10):14-15

[6]殷加兴.阿基米德三角形初探[J].中学数学研究(江西),2009(12): 4