一道经典不等式问题的多种证法

■陕西省武功县教育局教研室 李 歆(特级教师)

一道经典不等式问题的多种证法

■陕西省武功县教育局教研室 李 歆(特级教师)

综合法、分析法和反证法是数学证明的三种基本方法,下面利用这三种方法给出一道经典不等式问题的多种证明方法,供同学们学习参考。

题目： 已知a,b,c∈R+,求证:a3+b3+c3≥3abc。

一、综合法

本题可分别从作差比较法和作商比较法入手,利用熟知的立方和公式或和的立方公式以及基本不等式a2+b2≥2ab,以及a2+b2+c2≥ab+bc+ca进行证明。

证法一:

a3+b3+c3-3abc

=a3+3a2b+3ab2+b3+c3-3a2b-3ab2-3abc=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2] -3ab(a+b+c)

=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2-3ab]

=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bcca)≥0。

因此,a3+b3+c3≥3abc。

证法二:

a3+b3+c3-3abc

=(a+b+c)3-3a2b-3ab2-3b2c-3bc2-3c2a-3ca2-9abc

=(a+b+c)3-3(a+b+c)(ab+bc+ca)

晞月叹口气：“从前虽然都是侧福晋，我又比她年长，可是我进府时才是格格，虽然后来封了侧福晋，可旁人眼里到底觉着我不如她，明里暗里叫我受了多少气？同样这个镯子，原是一对的，偏要我和她一人一个，形单影只的，也不如一对在一起好看。”

=(a+b+c)[(a+b+c)2-3(ab+bc+ca)]

=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bcca)≥0。

因此,a3+b3+c3≥3abc。

证法三:

a3+b3+c3-3abc

=(a+b+c)(a2+b2+c2)-a2b-ab2-b2c-bc2-c2a-ca2-3abc

=(a+b+c)·(a2+b2+c2)-(a+b+c)(ab+bc+ca)

=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bcca)≥0。

证法四:

所以a3+b3+c3≥3abc。

证法五:

证法六:

二、分析法

证法七:

要证a3+b3+c3≥3abc,只需证(a+b+c)3≥3(a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2)+9abc,即证(a+b+c)3≥3(a+b+c)(ab+bc+ca),(a+b+c)2≥3(ab+bc+ca),也即证a2+b2+c2≥ab+bc+ca,此不等式显然成立,所以a3+b3+c3≥3abc。

证法八:

以上两种证法,虽然采用的都是分析法,但是完全不是前面六种综合证法的逆推,每种证法都是在等价转化中进行,由此充分体现了这道经典不等式问题所蕴含的数学思想和知识含量。

三、反证法

假设要证的不等式不成立,如何得到矛盾的结论,是反证法证明的关键。对此题来说,放缩法不失为一种有效方法。

证法九:

假设a3+b3+c3＜3abc,则有(a+b+c) (a3+b3+c3)＜3abc(a+b+c)。

故a4+b4+c4+(a3b+ab3)+(b3c+bc3)+(c3a+ca3)＜3abc(a+b+c)。

因为a4+b4+c4+(a3b+ab3)+(b3c+bc3)+(c3a+ca3)≥a4+b4+c4+2a2b2+2b2c2+2c2a2,所以a4+b4+c4+2a2b2+2b2c2+2c2a2＜3abc(a+b+c)。

故(a2+b2+c2)2＜3abc(a+b+c)。

又因为a2+b2+c2≥ab+bc+ca,所以(ab+bc+ca)2＜3abc(a+b+c)。(※)

但(ab+bc+ca)2=(ab)2+(bc)2+(ca)2+2abc(a+b+c)

≥ab·bc+bc·ca+ca·ab+2abc(a+b+c)=3abc(a+b+c)。

与(※)式矛盾,所以假设不成立。

因此,a3+b3+c3≥3abc。

此证法通过对不等式的等价变形,看起来将简单的不等式变成了复杂的不等式,但是却为放缩法的运用搭建了平台,使问题解决实现了根本性的转变。

(责任编辑 徐利杰)