一类带记忆项的非线性Petrovsky方程解的爆破时间下界估计

2017-06-01胡文燕柴树根

山东科技大学学报(自然科学版) 2017年3期

关键词：下界晋中边值问题

胡文燕,柴树根

(1.晋中学院数学学院，山西晋中 030600;2.山西大学数学科学学院，山西太原 030006)

一类带记忆项的非线性Petrovsky方程解的爆破时间下界估计

胡文燕1,柴树根2

(1.晋中学院数学学院，山西晋中 030600;2.山西大学数学科学学院，山西太原 030006)

考虑如下具有记忆项的非线性Petrovsky方程：

非线性Petrovsky方程；记忆项；正的初始能量；爆破时间；下界估计

考虑如下带记忆项的非线性Petrovsky方程的初边值问题：

(※)

对于不带记忆项的Petrovsky方程：

(1)

文献[1]证得当m

因为当爆破发生时，精确的爆破时刻往往是无法估算的，从而研究爆破时刻的上下界就变得非常重要。很多学者已经对拋物型方程的爆破时刻的下界估计做了大量研究，并得出了相应的结果[4-10]。文献[11]对如下不带记忆项的Petrovsky方程进行了研究：

(2)

并给出了该方程在正的初始能量下解的爆破时间下界估计。

对于具有记忆项的Petrovsky方程：

(3)

文献[12]研究了其解的局部存在性，给出了当初始能量有上界时解在有限时间内会爆破的结论。

本文在前人工作基础上，进一步对具有记忆项的Petrovsky方程解的爆破时间进行研究，并给出了在正的初始能量下解的爆破时间的下界估计。

1 预备知识

考虑Lebesgue空间Lp(Ω)和Sobolev空间Hq(Ω)，对于不增的松弛函数g(t)，假设如下：

(I1)g：R+→R+满足：

(4)

且

(5)

g′(t)≤0,t≥0。

(6)

(7)

(8)

ut∈C([0,T];L2(Ω))∩Lq(Ω×(0,T))；

utt∈L∞((0,T);L2(Ω))。

证明可以利用Faedo-Galerkin方法，证明其解的存在性和唯一性(参考文献[1])。

(9)

其中C为Sobolev嵌入的最佳常数。

再由Poincaré不等式可得

证毕。

定义初边值问题(※)的能量函数E(t)如下：

(10)

其中(g。

引理1.2[12]假设g,p,q分别满足(I1)，(I2)，(I3)，且u(t)为初边值问题(※)的解，那么

证明将初边值问题(※)的方程两边同乘以ut，并在Ω上积分，运用格林公式，可得

(11)

其中，

(12)

将(12)代入(11)，由g′(t)≤0，有

即E′(t)≤0，证毕。

定理1.2[12]假设g,p,q满足条件(I1)，(I2)，(I3)，那么当p>q，且E(0)

详细证明过程见参考文献[12]。

2 主要结果及证明

引理2.1[13]若Ω⊂R2(n≥2)为一光滑区域，当x∈Ω时，u(x)为一分段函数，当x∈∂Ω时，u(x)≡0，则下述不等式成立：

定理2.2 若u为问题(※)的解，它在有限时刻T爆破，则

证明由能量函数(10)式，有

那么

由引理1.2，E′(t)≤0，即E(t)≤E(0)，将其代入上式可得

(13)

=22p-4p2-pC2(p-1)l-1Fp-1(t)+F(t)+pE(0)+22p-4pC2(p-1)l-1Ep-1(0)。

(14)

在定理2.1中，由于C并不是一个确切的值，故很难找到爆破时间T的准确下界，为此，假设p满足：

(15)

显然，在此假设条件(I2)仍成立。

定理2.3 假设m,q满足(I1)，(I3)，p满足(15)式，若u(x,t)为问题(※)的解，它在有限时刻T爆破，则

证明因为λ1>0为齐次Dirichlet边界条件下的第一特征值，所以

由Hölder不等式，有

即

由引理2.1，取s=p-1，可得

证毕。

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[12]LI F S,GAO Q Y.Blow-up of solution for a nonlinear Petrovsky type equation with memory[J].Applied Mathematics and Computation,2016,274(2):383-392.

[13]PHILIPPIN G A.Lower bounds for blow-up time in a class of nonlinear wave equation[J].Zeitschrift Fur Angewandte Mathematik und Physik,2015,66(1):129-134.

(责任编辑：傅游)

Lower Bounds for Blow-up Time of a Nonlinear Petrovsky Equation with Memory

HU Wenyan1,CHAI Shugen2

(1.School of Mathematics,Jinzhong University,Jinzhong,Shanxi 030600,China; 2.School of Mathematical Sciences,Shanxi University,Taiyuan,Shanxi 030006,China)