STF瞝ike流中全局和局部分岔的研究

摘 要：基于三维的stretchtwistfold 流，利用反馈控制技术，提出了一类新的STFlike系统。通过蒙特卡洛假设检验这类新颖的方法来研究新系统混沌的存在性，同时严格证明了异宿轨分岔存在的全局性动力学性质，以及音叉分岔、Hopf分岔存在的局部性动力学性质。

关键词：蒙特卡洛假设检验；混沌；异宿轨分岔；音叉分岔；Hopf分岔

混沌及其应用已被众多学者广泛地研究了数十年，从理论上严格分析混沌系统的全局和局部动力学性质对于理解混沌现象的本质有着十分重要的作用，而分岔这种含有全局性或局部性的现象广泛地出现在物理学、化学、生物学、地质学等相关领域的非线性动力系统中，因而分岔分析在混沌系统的动力学性质研究中占有十分突出的位置[3，4，6]。

stretchtwistfold（STF）流最初设计出来用于阐明天体物理中拉伸扭曲折叠磁场产生的机理，并被公认为是研究磁流体力学中快速发电的一条重要途径[1，2，8]。本文中引入了一类新的stretchtwistfoldlike（STFlike）系统，原始的STF流是这类新系统的一种特殊情形。相比于STF流，STFlike系统有着更加丰富的动力学性质，因此本文对于STFlike系统的研究工作将有助于阐明STF流复杂的几何性质，从而达到更加系统地认识STF流的目的。

1 stretchtwistfoldlike流的提出

基于STF流，在其第一个和第三个方程中加入扰动项，提出STFlike系统如下：

x·=αz-8xy+cyzy·=11x2+dy2+z2+βxz-dz·=-αx+cz+2yz-βxy （1.1）

其中α和β是正的实参数，两者与原始STF流的拉伸、扭曲、折叠的程度紧密相关；c和d是实参数。

容易证明，当c=0及d=3时，系统（1.1）与STF流是拓扑等价的。

对于α≥0和β≥0，系统（1.1）总存在两个孤立的奇点P+（0，1，0）和P-（0，-1，0）；α>0時系统（1.1）还有其它的平衡点。作变换：

（x，y，z）→（-x，y，-z），

在此变换下系统（1.1）保持形式不变，因此系统（1.1）关于y轴对称。并且通过计算知，系统（1.1）的散度为：

·V=2（d-3）y+c，

说明它不是保守系统。

下面将应用蒙特卡洛零假设检验[7]的方法来检验几种混沌系统的例子，每个被验证的例子将被看作时间序列，此时系统的x轴被看作时间序列的时间轴。其中，关联维是检验时间序列是否源于混沌系统的重要统计量。具体的方法为采用分层不等概率抽样方法[9]（PPS算法）抽样产生100个替代数据样本来代替原数据，并在每个样本中随机选取2500个数据点作为参考点。

为减少统计误差，计算时间序列的关联维时，将取100次计算的结果求得关联维的均值和标准误差。在下图1中有三条平行于横轴（表示替代数据样本）的线段，上中下三条线段依次表示的含义为：关联维的均值加上3倍标准差、平均关联维和关联维的均值减去3倍标准差，以及图中的星号表示每个替代数据样本的关联维。

例一：取α=0.1，β=5.6，c=0.1和d=5.6。

通过图1的计算结果可以发现，关联维数的均值按从小到大的顺序排在了100个样本关联维数的第96位，可以算得拒绝单边零假设检验的错误率为6%，拒绝双边零假设检验的错误率为12%。这表明在上面的参数取值条件下，系统（1.1）表现出混沌现象的可能性要高于其表现出周期轨的可能性。

图1 （α，β，c，d）∈（0.5，4.1，0.2，6.0），基于PPS算法的替代数据检验结果

Fig.1 Surrogate test based on the PPS algorithm for（α，β，c，d）∈（0.5，4.1，0.2，6.0）

2 异宿轨分岔

在这一部分中，将采用高维广义的Melnikov方法研究系统（1.1）的异宿轨分岔。

将系统（1.1）重写成如下形式：

X·=f（X）+h（X，μ），（2.1）

其中

f（X）=-8xy11x2+dy2+z2-d2yz，h（X，μ）=αz+cyzβxz-αx+cz-βxy，

和μ=（α，β，c），（0<μ≤1）。

系统（2.1）的线性系统为：

X·=f（X）。（2.2）

令p1=P+，p2=P-及d>2，点p1和p2为系统（2.2）的两个双曲鞍点，在平衡点p1处的特征值Df（p1）为：

λ1=2，λ2=-8，λ3=2d，

在平衡点p2处的特征值Df（p2）为：

λ1=-2，λ2=8，λ3=-2d。

进一步地，当t→-∞（+∞）时，x1（t）→p1（p2），此时存在连接平衡点p1和p2的异宿轨道：

Γ1=x1（t）=（0，-tanh（2t），d-2sech（2t））：t∈R

（2.3）

此隐含着线性变分方程

φ·=A（t）φ（2.4）

在R+和R-上具有指数二分法，其中

A（t）=Df（x1（t））（2.5）

且式（2.2）关于Γ1的线性变分方程

φ·=8tanh（2t）000-2dtanh（2t）2d-2cosh（2t）02d-2cosh（2t）-2tanh（2t） φ

恰有两个线性独立的有界解：

（0，-2（cosh（2t））2，-2d-2sinh（2t）（cosh（2t））2），

（（cosh（2t））4，0，0）。

因此，dim（TqWu∩TqWs）=2，其中q∈Γ1。

相应的，Γ1的线性变分方程的伴随方程ψ·=-A（t）ψ有唯一的线性独立有界解：

ψ=（（sech（2t））4，0，0）。

经简单计算Melnikov函数得到：

M1=∫+∞-∞ψ·hμ（x（t），0）dt=（316d-2π，0，0），

其中

hμ（x1（t），0）=

d-2cosh（2t）0-d-2sinh（2t）（cosh（2t））200000d-2cosh（2t）

易见M1的秩为1，因此可以得到下面的定理：

定理2.1 设d>2，μ=（α，β，c）∈UR2+∪R，其中U为R2+∪R中原点的一个开邻域。那么在R2+∪R中存在一个原点的邻域V1U和一个超曲面H1V1，使得当μ=H1时，系统（2.1）存在双曲鞍点p1（μ）和p2（μ）及连接它们的异宿轨道Γμ：x=x（t，μ），异宿轨满足：

pi（μ）-pi=O（μ），i=1，2，

x（t，μ）-x1（t）=O（μ），t∈R，

及μ=0处的切空间H1以M1为法向量。

参考文献：

[1] K.Bajer and H.K. Moffatt：On a class of steady confined Stokes flows with chaotic streamLines.J. Fluid Mech.212（1990），337363.

[2] S. Childress and A.D. Gilbert： Stretch， Twist， Fold： The Fast Dynamo. Springer， Berlin，1995.

[3] Y. Chow and S. Jang： NeimarkSacker bifurcations in a hostparasitoid system with a host refuge. Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. B 21（2016）：17131728.

[4] G. Fuhrmann： Nonsmooth saddlenode bifurcations III： Strange attractors in continuous time. J. Differ.Equations 261（2016）21092140.

[5] Y.A.Kuznetsov：Elements of Applied Bifurcation Theory.SpringerVerlag，New York，1998.

[6] E.N. Lorenz：Deterministic nonperiodic flow.J.Atmos. Sci.20（1963）：130141.

[7] X. Luo， M.Small， M.F. Danca and G.Chen： On a dynamical system with multiple chaotic attractors. Int.J.Bifurcation and Chaos 17（2007）：32353251.

[8] H.K. Moffatt： Stretch， twist and fold. Nature 341（1989）：285286.

[9] M. Small：Applied Nonlinear Time Series Analysis：Applications in Physics， Physiology and Finance.World Scientific，Singapore，2005.

作者簡介：冯继雄（1992），男，汉族，湖北黄冈人，华南理工大学数学学院，硕士生，研究方向：微分方程中的混沌动力系统与分岔理论。