定积分的发展史和应用

胡楠

摘 要：本文通过介绍定积分的发展历程阐述了定积分的基础——极限思想的发展，使我们了解到一个伟大定理的诞生需要多少细微理论的推动。最后，概述了定积分的定义，并从面积和微元的角度介绍了定积分的几个应用。

關键词：定积分；极限；几何；物理

1 历史背景

赫尔曼·汉克尔曾说，在大多数科学里，一代人要推倒另一代人所修筑的东西，一个人所创立的要被另一个人取代，只有数学，每一个人都能在旧体系上增加一点色彩。微积分学作为数学的一个重要的分支，其发展史正印证了这句话。

现代数学分析理论体系中，定积分的规范定义要基于极限论，这和历史并不一致。在人类对微积分的认识初期，积分问题和极限问题是平行发展的。

1.1 定积分问题的提出

积分思想起源于古希腊，古希腊科学家安提风呈现“穷竭”的方法，然后在公元前三世纪，阿基米德发展了该方法，他在著作中提到了面积和体积的测量：圆拱，球和球帽、螺线盘旋3类面积问题和共轴的旋转双曲面与圆柱交集体积的问题。这是积分思想最初的样子。

1.2 建立极限与积分的联系

（1）1615年开普勒在《酒桶的立体几何》中提出了利用求无数个小圆柱体积之和求旋转体体积的方法，他是是第一个在求积问题中用通俗的语言提出无穷大，无穷小概念的科学家，可以认为是历史首次让“积分论”与“极限论”开始出现交集。

（2）首个用极限思想真正解决导数与积分问题的科学家波尔查诺，但他仍然没有清楚地将极限的本质呈现出来，仍然没有将极限的基本概念解释清楚。直到19世纪，法国科学家柯西结合前辈的思想进一步较完整地阐述了极限的概念，对变量，极限，连续，收敛等给出了明确的定义，微积分长期纠缠在基础问题上的局面终于被打破，为微分学和积分学提供了严谨的理论基础，形成了以极限论为核心的函数理论，经后人稍加丰富，就成了现在严谨的数学分析学。

（3）1893年法国数学家若尔当在自己的著作《分析教程》中首先提出了集合的测度论，后人为纪念他，将这个虽然存在不少缺陷，但启发意义很重大的理论称为若尔当测度论。1898年法国数学家博雷尔在若尔当测度论基础上引入了“σ-代数”概念，这是基于集合可测性的实分析理论的雏形。勒贝格注意到了这套有重大缺陷理论中的深刻思想，通过建立“勒贝格测度论”，成功地开创了自己的一套积分理论，将积分的研究对象推广到所谓“可测函数”，解决了“不可积函数”大量存在的状况，至此，数学家们很少再碰到“不可积的函数”，勒贝格测度与积分理论经后人稍加丰富变成了现在的实分析（也叫实变函数）。

2 定积分的应用

2.1 定积分的定义

定义1（黎曼型积分）：对于定积分来说，若积分区间[a，b]、分点a=x0参考文献

[1]李立真.定积分在物理中的简单应用[J].学周刊，2015，（7）：112.

（作者单位：下关第一中学）