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定积分的发展史和应用

2017-05-30胡楠

科技尚品 2017年3期
关键词:定积分极限几何

胡楠

摘 要:本文通过介绍定积分的发展历程阐述了定积分的基础——极限思想的发展,使我们了解到一个伟大定理的诞生需要多少细微理论的推动。最后,概述了定积分的定义,并从面积和微元的角度介绍了定积分的几个应用。

關键词:定积分;极限;几何;物理

1 历史背景

赫尔曼·汉克尔曾说,在大多数科学里,一代人要推倒另一代人所修筑的东西,一个人所创立的要被另一个人取代,只有数学,每一个人都能在旧体系上增加一点色彩。微积分学作为数学的一个重要的分支,其发展史正印证了这句话。

现代数学分析理论体系中,定积分的规范定义要基于极限论,这和历史并不一致。在人类对微积分的认识初期,积分问题和极限问题是平行发展的。

1.1 定积分问题的提出

积分思想起源于古希腊,古希腊科学家安提风呈现“穷竭”的方法,然后在公元前三世纪,阿基米德发展了该方法,他在著作中提到了面积和体积的测量:圆拱,球和球帽、螺线盘旋3类面积问题和共轴的旋转双曲面与圆柱交集体积的问题。这是积分思想最初的样子。

1.2 建立极限与积分的联系

(1)1615年开普勒在《酒桶的立体几何》中提出了利用求无数个小圆柱体积之和求旋转体体积的方法,他是是第一个在求积问题中用通俗的语言提出无穷大,无穷小概念的科学家,可以认为是历史首次让“积分论”与“极限论”开始出现交集。

(2)首个用极限思想真正解决导数与积分问题的科学家波尔查诺,但他仍然没有清楚地将极限的本质呈现出来,仍然没有将极限的基本概念解释清楚。直到19世纪,法国科学家柯西结合前辈的思想进一步较完整地阐述了极限的概念,对变量,极限,连续,收敛等给出了明确的定义,微积分长期纠缠在基础问题上的局面终于被打破,为微分学和积分学提供了严谨的理论基础,形成了以极限论为核心的函数理论,经后人稍加丰富,就成了现在严谨的数学分析学。

(3)1893年法国数学家若尔当在自己的著作《分析教程》中首先提出了集合的测度论,后人为纪念他,将这个虽然存在不少缺陷,但启发意义很重大的理论称为若尔当测度论。1898年法国数学家博雷尔在若尔当测度论基础上引入了“σ-代数”概念,这是基于集合可测性的实分析理论的雏形。勒贝格注意到了这套有重大缺陷理论中的深刻思想,通过建立“勒贝格测度论”,成功地开创了自己的一套积分理论,将积分的研究对象推广到所谓“可测函数”,解决了“不可积函数”大量存在的状况,至此,数学家们很少再碰到“不可积的函数”,勒贝格测度与积分理论经后人稍加丰富变成了现在的实分析(也叫实变函数)。

2 定积分的应用

2.1 定积分的定义

定义1(黎曼型积分):对于定积分来说,若积分区间[a,b]、分点a=x0参考文献

[1]李立真.定积分在物理中的简单应用[J].学周刊,2015,(7):112.

(作者单位:下关第一中学)

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