交错系统分离集和生成集关系的研究

程建康 陈溥 杨贶

摘 要：本文对交错系统中分离集和生成集的关系进行了研究，提出了两个重要结论：

1. 若E∈E[f，g]（n，ε）且Card（E）=s（n，ε），则E∈F[f，g]（n，ε）；

2.r（X，n，ε）≤s（n，ε）≤rX，n，ε2.

并对其进行了证明。

关键词：交错系统；分离集；生成集

一 、相关定义

分离集和生成集在定义拓扑熵[1]的过程中起到重要作用，而它们本身也有值得探讨的地方。这两个概念在经典的拓扑自治系统中已经有学者讨论[2]，下面我们在非自治系统中的交错系统中讨论它，为将来讨论交错系统的拓扑熵而作准备。

设（X，[f，g]）是一个交错系统[3]，Card（A）表示集合A的基数[4]，Z+表示正整数集。

记diam（A）=sup{d（x，y）|x，y∈A}为集合A的直径，2A为集合A的幂集。

记

fn=（g。f）k，n=2kf。（g。f）k，n=2k+1，

gn=（f1。g1）k，n=2k（f1。g1）k。f1，n=2k+1

其中k∈Z+，f和g都是X到X的连续映射。特别的，设f0和g0为X到X的恒同映射。

定义1 设n∈Z+，ε>0。称集合EX为X的关于交错系统[f，g]的（n，ε）分离集，若对任意的x，y∈E，x≠y，存在i∈0，1，2…，n1使得d（fi（x），fi（y））>ε。记X的关于交错系统[f，g]的（n，ε）分离集的全体所成的集合为E[f，g]（n，ε）。

定义2 设n∈Z+，ε>0，记s（n，ε）=supCard（E）|E∈E[f，g]（n，ε）。

定义3 设n∈Z+，ε>0。称集合Fx（关于交错系统[f，g]）（n，ε）生成X，若對任意的x∈X，存在y∈F使得dn（x，y）=maxd（fi（x），fi（y））|i=0，1，2…，n1≤ε。此时，我们也称FX是X的关于交错系统[f，g]的（n，ε）生成集。记X的关于交错系统[f，g]的（n，ε）生成集的全体所成的集合为F[f，g]（n，ε）。

定义4 设r（X，n，ε）=infCard（F）|F∈F[f，g]（n，ε），其中n∈Z+，ε>0。

二、 相关结论及其证明

命题1 若集合EX为X的关于交错系统[f，g]的（n，ε）分离集，则对于任意的x∈E都有x=E∩∩n1i=0gi（B（fi（x），ε））。

证明： 我们先证xE∩∩n1i=0gi（B（fi（x），ε））。对任意的i∈0，1，2，…，n1，明显地有fi（x）∈B（fi（x），ε），于是有x∈gi（B（fi（x），ε）），所以有x∈=∩n1i=0gi（B（fi（x），ε））。又因为x∈E，所以x∈=E∩∩n1i=0gi（B（fi（x），ε）），因此x=E∩∩n1i=0gi（B（fi（x），ε））。

下证{x}E∩∩n-1[]i=0gi（B（fi（x），ε））.

由上面的证明知x∈E∩∩n1i=0gi（B（fi（x），ε）），于是我们只需证明唯一性即可。我们用反证法。假设x，y∈E∩∩n1i=0gi（B（fi（x），ε））且x≠y，则对任意的i∈0，1，2，…，n1，有fi（y）∈B（fi（x），ε），于是有d（fi（x），fi（y））<ε。但是由分离集的定义可知，当x，y∈E，x≠y，存在i{0，1，2，…，n-1}。使得d（fi（x），fi（y））>ε，明显与d（fi（x），fi（y））<ε产生矛盾。所以假设不成立，因此唯一性成立。

综上所述，命题得证。

命题2 若ε≥diam（X），则有E[f，g]（n，ε）=。

证明： 我们用反证法。假设E[f，g]（n，ε）≠，即存在分离集E∈E[f，g]（n，ε）。根据分离集的定义，对任意的x，y∈E，x≠y，存在i∈0，1，2，…，n1使得d（fi（x），fi（y））>ε，所以有

diam（X）=supd（x，y）|x，y∈X≥d（fi（x），fi（y））>ε。

这与ε≥diam（X）矛盾，于是假设不成立。证毕。

命题3 对任意的n∈Z+，都有E[f，g]（n+1，ε）E[f，g]（n，ε）…E[f，g]（1，ε）。

证明： 我们只需要证明E[f，g]（n+1，ε）E[f，g]（n，ε）即可，任取E∈E[f，g]（n，ε），由分离集的定义可知对任意的x，y∈E，x≠y，存在i∈0，1，2…，n1使得d（fi（x），fi（y））>ε。于是存在i∈0，1，2，…，n1使得d（fi（x），fi（y））>ε。所以E∈E[f，g]（n+1，ε），因此E[f，g]（n+1，ε）E[f，g]（n，ε）。

命题4 若0<ε<δ，则有E[f，g]（n，δ）E[f，g]（n，ε），其中n∈Z+。

证明： 任取E∈E[f，g]（n，δ），由分离集的定义可知对任意的x，y∈E，x≠y，存在i∈0，1，2…，n1使得d（fi（x），fi（y））>δ>ε，于是有E∈E[f，g]（n，ε），即E[f，g]（n，δ）E[f，g]（n，ε）。

定理5 设n∈Z+，ε>0。若E∈E[f，g]（n，ε）且Card（E）=s（n，ε），则E∈F[f，g]（n，ε）。

证明： 若E∈E[f，g]（n，ε）且Card（E）=s（n，ε），由分离集和s（n，ε）的定义可知对任意的x，y∈E，x≠y，存在i∈0，1，2，…，n1使得d（fi（x），fi（y））>ε并且对任意的x∈XE和y∈E，d（fi（x），fi（y））≤ε。

设x∈X，我们接下来考虑两种情况：x∈E和x∈XE。

若x∈E，则对任意的i∈0，1，2，…，n1}都有d（fi（x），fi（x））=0<ε，所以有

dn（x，y）=maxd（fi（x），fi（x））|i=0，1，2，…，n1=0<ε。

若x∈XE，由E∈E[f，g]（n，ε）且Card（E）=s（n，ε）可知对任意的x∈XE和y∈E，d（fi（x），fi（y））≤ε。

综上所述，对任意的x∈X，存在y∈E使得

dn（x，y）=maxd（fi（x），fi（x））|i=0，1，2，…，n1≤ε。

所以E∈F[f，g]（n，ε）。

引理6 设E∈E[f，g]（n，ε），F∈F[f，g]（n，ε/2）。定义τ：EF使得对每个x∈E，有τ（x）∈F且满足dn（x，τ（x））≤ε2，则τ是单射。

证明：我们先证τ：EF是映射。因为F∈F[f，g]（n，ε/2），任取x∈EX，由生成集的定义可知存在y∈F使得

dn（x，y）=maxd（fi（x），fi（x））|i=0，1，2，…，n1≤ε2。

令τ（x）=y，则对于任意的x∈E，都有y∈F与之对应，即τ：EF是映射。

下证τ：EF是单射。任取x，y∈E且x≠y，我们证明τ（x）≠τ（y）。用反证法。假设τ（x）=τ（y），则存在i∈0，1，2，…，n1使得

ε≤d（fi（x），fi（τ（x）））+d（fi（τ（x）），fi（τ（y）））+d（fi（y），fi（τ（y）））

=d（fi（x），fi（τ（x）））+d（fi（y），fi（τ（y）））

≤dn（x，τ（x））+dn（y，τ（y））

≤ε2+ε2=ε

矛盾，所以假设不成立，从而τ：EF是单射。

定理7 对任意的ε>0，都有r（X，n，ε）≤s（n，ε）≤rX，n，ε[]2。

证明： 我们先证r（X，n，ε）≤s（n，ε）。由定理5可知若E∈E[f，g]（n，ε）且Card（E）=s（n，ε），则E∈F[f，g]（n，ε）。所以有r（X，n，ε）=infCard（F）|F∈F[f，g]（n，ε）≤Card（E）=s（n，ε）。

下证s（n，ε）≤rX，n，ε[]2。由引理6可知当E∈E[f，g]（n，ε），F∈F[f，g]（n，ε/2）时，可以定义单射τ：EF，这意味着Card（E）≤Card（F），所以有

s（n，ε）=supCard（E）|E∈E[f，g]（n，ε）≤infCard（F）|F∈F[f，g]（n，ε/2）=rX，n，ε[]2.

參考文献：

[1]Adler R， Konheim A， McAndrew M.Topological entropy. Trans. Amer. Math. Soc.，1965， 114： 303319.

[2]林银河.拓扑动力系统中张成集与分离集[J].重庆大学学报（自然科学版）， 2006， （11）： 122125.

[3]Gengrong Zhang， Jiankang Cheng， Xiaoting Li. Some results of alternating systems[J].International Journal of Research Science and Management.2015， 2（1）： 2631.

[4]熊金城.点集拓扑讲义[M].高等教育出版社， 2011.

资助项目：1.广西高校中青年教师基础能力提升项目（2017KY0711）；2.百色学院2015年度校级一般项目（2015KBNO2）

作者简介：程建康（1989），主要研究方向：拓扑动力系统。