概率统计模拟实验平台的设计及在教学中的应用

任美睿 郭龙江

摘 要：概率统计课程是研究随机现象统计规律性及分析数据的一门数学分支学科，是理工类专业重要的学科基础课程。该课程虽然解题技巧并不多，但内容抽象、枯燥，学生不容易理解。利用随机现象适于做统计模拟的特点，作者根据教学的需要，结合概率统计中的经典问题，利用随机算法设计了一套概率统计模拟实验平台。该平台能够为概率统计课程中一些经典问题提供较好的动画演示效果。在教学中应用该模拟平台作为辅助，使学生不但加深了对知识的理解，而且大大提高了学习概率统计课程的兴趣。

关键词：概率统计；随机算法；模拟实验平台

中图分类号：G642 文献标志码：A 文章编号：2096-000X（2017）24-0067-04

Abstract： Probabilistic statistics course is a branch of mathematics which studies the statistical regularity of stochastic phenomena and analyzes data. It is an important basic course of science major and engineering major.Although the skills for solving problems don't need too much in the course， the content is abstract， boring and not easy to be understood.Based on the characteristics of stochastic phenomena suitable for statistical simulation， the author designed a set of probabilistic statistical simulation experiment platform based on the needs of teaching and combined with the classical problems in probability statistics.This platform can provide better animation demonstration for some classical problems in probabilistic statistical courses. Applying the simulation platform in teaching makes students not only deepen their understanding of knowledge， but also greatly improve the interest of learning probability statistics courses.

Keywords： probability statistics； stochastic algorithm； simulation experiment platform

概率统计是理工类学科的一门重要课程，通过对该课程的学习，不仅为后续专业课程的学习奠定了基础，同时对培养学生的逻辑思维能力、分析和解决问题能力、数学建模能力起着非常重要的作用。该课程的内容丰富、实用性强，但由于这门课程知识面涉及广泛，课程内容抽象、难度大、不易理解，学生在学习时有较大的困难[1]。

随着现代化教学技术飞速发展，利用计算机辅助教学已经成为现代课程教学中一个重要组成部分，而利用计算机来辅助讲解概率统计课程能够增加学生对知识的理解程度，这符合当代教学的特点。计算机模拟实验平台结合了数学建模，模拟公式和定理的变化过程以及模拟实验结果而形成的一种新型教学方式。同时，模拟实验平台是利用计算机技术把抽象的问题具体化，把复杂的问题简单化，并通过计算机的图形显示、实验动画模拟及文字说明形成的一种全新的数形结合的教学环境[2]。

在概率统计的课程教学中，利用统计模拟实验可以代替部分理论证明和统计结论，这样对学生理解概率统计的概念和理论有着重要的帮助，学生在解决问题时建立正确的统计思维，可以提高学生独立解决问题的能力[3]。

让学生对所学习的课程产生浓厚的兴趣、扩展学生的视野、挖掘学生的潜能，是数学教学中培养学生综合应用能力和提高学生创造性思维的有效方法。因此，以下三点是本文建立概率统计模拟平台的目的：1.实验模拟平台应该对概率统计的基础理论教学起到一定的辅助作用；2.利用计算机可以减少公式和数据的计算量；3.培養学生利用概率论知识解决实际问题的能力[4]。

一、蒙特卡洛随机算法

蒙特卡罗方法[5]是一种基于随机数的数学随机算法。计算机模拟经常采用随机模拟方法或统计试验方法，这就是蒙特卡洛方法。它是通过不断产生随机数序列来模拟过程。自然界中有的过程本身就是随机的过程，物理现象中如粒子的衰变过程、粒子在介质中的输运过程等。蒙特卡洛方法也可以借助概率模型来解决不直接具有随机性的确定性问题。

对求解问题本身就具有概率和统计性的情况，例如中子在介质中的传播，核衰变的过程等，我们可以使用直接蒙特卡洛模拟方法。蒙特卡洛方法也可以根据所需要解决的问题建立数学模型，利用计算机对模型进行大量的统计以及实验模拟使它的某些统计参量正好是待求问题的近似解，被称为间接蒙特卡洛方法。

蒙特卡洛算法包含以下三个优点：1.方法的程序结构简单；2.算法的概率性和问题的维数无关；3.方法的适应性强。

在使用传统的方法解决问题时，由于某些问题包含有不确定的随机因素，分析起来通常比确定性的模型更加困难。而蒙特卡罗方法计算不依赖于参数的个数，所以可以避过“维数灾难”解决问题。

二、模拟平台设计

（一）模拟平台总体设计

结合课程需要，模拟平台的设计思路是由计算机产生伪随机数来模拟现实世界的随机现象，利用蒙特卡罗随机算法，在概率统计中一些经典问题中选择了8个问题：求复杂图形面积；会面问题；投硬币实验；抽签问题；蒲丰投针；高尔顿钉板；投股子实验；二项分布逼近泊松分布。

（二）具体模块设计

下面我们仅以2个模块为例，简要介绍一下其功能模块的设计思想。

1. 蒲丰投针模块的设计

在数学文化史中，人们对圆周率π精确值的追求吸引了许多学者的研究兴趣。在圆周率计算方法中，最为奇妙的是法国科学家蒲丰提出的方法——随机投针法，也称为蒲丰投针方法。投针法实验操作的步骤为：拿来一张画上许多条彼此之间距离相等的平行直线的白纸，直线之间的距离记为S，把长度为L的针随机的向纸上投掷。针在纸上会产生兩种结果，一种是针与平行线相交，一种是不相交，假设投针的次数为n，针与直线相交的次数为k，如果投入大量的针，你就会发现2Ln/Sk所得到的值为一个定数，这就是要求的圆周率π。

本模块通过输入的n值进行随机实验，首先产生两个值的随机数，如果随机值为0，表示本次实验所投出的针与直线不相交，如果值为1则表示针与平行线相交，统计针与平行线相交的总次数m，利用蒙特卡洛随机算法求出π值，在绘制图像时，根据针与平行线之间的关系，在不同的范围内随机产生针的开始、结束纵坐标和针的开始横坐标，通过勾股定理算出针结束点的横坐标，并通过画图函数显示在窗口中。图1、图2分别给出了投针前和投针后的界面。

2. 高尔顿钉板模块的设计

高尔顿钉板是英国科学家高尔顿设计的，实验模型如图3所示。图中每一个黑点表示钉在板子上的一颗钉子，他们彼此之间的距离均相等，并且上一层的每一颗钉子的水平位置恰好位于下一层两颗钉子的正中间位置。从入口处投入一个小球，这个小球的直径要小于两颗钉子间的距离，在小球的下落过程中会碰到板上的钉子，并以1/2的概率向左或者向右落下，于是就会碰到下一层钉子。如此不断的循环下去，直到落入底板的一个格子内。如果把数量相当多的小球不断的从入口放入，他们在底板会堆成近似于正态分布的函数图形。

在模块对话框的上侧为实验演示的模型图，模型图下面为一个实验操作组框栏用于对实验进行操作。在实验操作组框栏中包含一个编辑框，用于输入投球的个数。在编辑框的右侧是 “开始”按钮。点击“开始”按钮之后，开始本次的实验模拟，并把“开始”按钮变灰，在实验结束时在实验演示模型图上会显示出实验结果的柱状图和曲线，并激活“结果”按钮。“开始”按钮的右侧为“结果”按钮，如果输入的小球个数太多，实验演示的时间太长，按下此按钮，系统会直接显示实验的结果，如图4，并可开始下次实验演示。

三、模拟实验平台的教学应用实例

限于篇幅关系，我们仍以上面介绍的两个模块为例，说明其在教学中的作用。

（一）蒲丰投针模块在几何概型讲解中的应用

几何概型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。

几何概型的特点有下面两个：

1. 试验中所有可能出现的基本事件有无限多个。

2. 每个基本事件出现的可能性相等。

图5 蒲丰投针示意图

（二）高尔顿钉板模块在二项分布、中心极限定理讲解中的应用

在讲授中心极限定理时，我再次演示了高尔顿钉板模拟实验，将小球个数设置为较大的数值，此时让学生观察图4，并提示学生想像如果将钉子加密并增加行数，同时增加小球数量，那么实验得到的频率直方图的形态将会是什么样？通过这样的引导，学生很快就认同了二项分布的极限分布是正态分布的结论。

二项分布，中心极限定理是概率统计中比较重要的知识点，而工科专业的概率统计课程中对中心极限定理只给出了定理内容，并没有给出证明，这样学生理解起来就有困难。而利用高尔顿钉板模拟实验让学生对中心极限定理有直观的认识，验证中心极限定理的结论，对学生理解中心极限定理的内容以及二项分布与正态分布的关系有着重要的帮助。

四、结束语

将所设计和实现的概率统计模拟实验平台应用到教学中，给学生提供了直接观察随机现象的机会，同时使学生对概率统计知识有了直观感受，并可以进一步验证所学知识。由于该平台各模块的演示动画具有较好的可视化效果，界面简洁、清晰，并且每个模块在界面中都包含了必要的提示信息，在实验演示过程中可以解决学生的很多疑问，提高学生的学习效率，也激发了学生利用自己的专业技能自主开发类似模拟平台的兴趣。

参考文献：

[1]操群，周远国.开设概率论与数理统计实验课的教学探讨[J].科技信息，2011（14）：112-113.

[2]李晓康.概率论与数理统计课程开设实验课的认识与实践[J].科技信息，2008（15）：225-226.

[3]刘春梅，倪成才，余福平.模拟实验加强对概率统计核心概念的理解[J].科技创新导报，2010（4）：107-108.

[4]邓华玲，傅丽芳，任永泰.概率论与数理统计实验课的探讨与实践[J].大学数学，2008，24（2）：11-14.

[5]何凤霞，张翠莲.蒙特卡罗方法的应用及算例[J].华北电力大学学报，2005，32（3）：110-112.

[6]Alfred V.Aho，John E.Hopcroft. The Design and Analysis of Computer Algorithms（第一版）[M].北京：机械工业出版社，2006：1-67.

[7]何谕.计算机常用数值算法与程序（C++版）[M].北京：北京邮电大学出版社，2001：45-59.

[8]陈元琰，邓宗明，张睿哲.Visual C++6.0编程实用技术与案例[M].北京：清华大学出版社，2001：50-78.