基于R语言的互补双对数模型分析

戴建国 杨剑红

摘 要： 针对分类数据模型的误差不满足正态分布，Logistic分布等常用分布，而是满足极值分布这类特殊情况时，采用互补双对数模型进行分析。以R语言作为分析工具，并将其与几种常用模型进行对比分析，结果表明互补双对数模型优于其他模型。

关键词： 互补双对数模型； R语言； 有序分类

中图分类号： O 212.1 文献标志码： A 文章编号： 1671-2153（2017）04-0087-03

1 问题提出

大数据时代，数据挖掘与数据分析过程中遇到的数据类型主要有连续型，离散型，以及混合型，其涉及的方法众多，如机器学习，深度学习等。当然，对于离散型数据，回归模型也是比较流行的统计分析方法之一，而且在多数情况下，因变量有可能是有序二分类或多分类的离散型变量，在医疗卫生统计或社会统计尤为常见，如对某事的评价可能分为不好、好、非常好这样三个等级。对于这类数据常用的模型有Logistic回归模型（包括累积Logistic，邻近Logistic等模型），Probit回归模型，但它们分别是假设模型误差分布是Logistic分布和正态分布的，而有些情况误差并不满足这样的假设，其误差分布是非对称的极值分布或称Gumbel 分布[1]。如某年某河面最高水位这样一个极值，这时需要寻求一个更为有效的模型，此时采用互补双对数线性模型与其他几种模型进行对比分析。并且近年来R语言已成为当下最流行做数据分析和挖掘的工具之一，它不仅有丰富的函数包，而且能与Hadoop，Python等软件结合，使得成为重要的数据分析工具。下面基于R语言用互补双对数模型对一组实际数据进行对比分析。

2 互补双对数线性模型[1]

该模型的一般形式为

log{-log[1-P（Y≤j）]}=αj+β'X， （1）

从而可得求概率的表达式为

式中：αj为解释变量不能解释的部分；β'为参数构成的向量。当只有一个自变量，并且当X=xi（i=1，2）时，有性质：

P（Y>j|x1）=P（Y>j|x2）exp[β（x1-x2）]。

对于各自变量的回归系数通常采用极大似然法来估计。由于互补双对数函数是严格凹的，海森矩阵便是负的，因此通过牛顿—拉夫森方法[2]得到参数估计，对参数进行检验，模型拟合优度检验[3]，这些都可以由R语言的summary（）函数得到。

3 实例分析与R程序

下面实例是研究肤色和性别对寿命的影响，其中寿命作为因变量分为5个类别（0～20岁、20～40岁、40～50岁、50～60岁、>60岁），分别记为1，2，3，4，5；性别和肤色作为两个自变量，记为X，Z。对于自变量X包含男性、女性两个类别，分别用0，1表示；自变量Z包含白人、黑人两个类别，同样用0，1表示。且每行的总数均为1000，数据见表1。由表1可以看出，在寿命的给类别上分布是很不平衡的，如比较寿命分别对应0～20和>60的两列，下面给出几种模型的对比分析。

3.1 建立数据文件

首先将表1中数据的每一列构成因子，然后用cbind（）函数将其按列合并，最后用as.data.frame（）将合并后的数据转化成数据框，并命名为w，程序如下：

>gender<-c（0， 0， 1， 1）； race<-c（0， 1， 0， 1）；y1<-c（13， 26， 9， 18）；y2<-c（28， 49， 13， 24）；y3<-c（32， 56， 19， 37）；>y4<-c（122， 201， 80， 129）； y5<-c（805， 668， 879， 792）

>w<-as.data.frame（cbind（gender，race，y1，y2，y3，y4，y5））

3.2 安装和载入VGAM包

在数据文件建立后，需要安装和载入所需要的函数包，以下用一种简单有效的方法载入和安装所需的VGAM包。

>install.package（“VGAM”）； library（VGAM）

3.3 模型的构建及预测

在完成前面的准备工作后，使用VGAM包中的vglm（）函数对表中的数据用上述模型和其他两种常用模型进行分析及预测。首先构建互补双对数模型，模型的表達式已在式（1）给出。以下代码中设置link = cloglog表示互补双对数，将构建的模型记为CLL_fit，可用summary（CLL_fit）得到模型参数的估计和检验，并用predict（）所构建模型对数据进行预测，用round（）结果保留一位小数，预测结果见表1中括号内的数据。相关代码如下：

>CLL_fit<-vglm（cbind（y1，y2，y3，y4，y5）～gender+race，family = cumulative（link = cloglog，parallel = T），data = w）

>summary（CLL_fit）

>fitted<-predict（CLL_fit，type = "response"）；round（fitted*1000，1）

3.3.1 邻近logit回归模型

该模型的一般形式为

式中：c为因变量的类别数；X为解释变量构成的向量；πj为类别j在给定解释变量下对应的概率；βj'为对应的回归系数，该模型的假设是模型误差服从Logistic分布。同样使用VGAM包中的vglm（）函数对表中的数据进行分析及预测，此时需设置family=acat（），将构建后的模型记为AL_fit，由predict（）命令得到预测结果见表2。代码如下：

>AL_fit<-vglm（cbind（y1，y2，y3，y4，y5）～gender+race，family=acat（reverse=TRUE，parallel=FALSE）， data=w）

>fitted<-predict（AL_fit，type ="response"）；round（fitted*1000，1）

3.3.2 累积Probit模型

模型的一般形式为

P（Y≤j）=？椎（αj+β'X） （j=1，…，c-1）， （3）

式中：c为因变量的类别数；X为解释变量构成的向量；β'为对应的回归系数；？椎为正态分布的分布函数；P（Y≤j）为累积概率，该模型的假设是模型误差服从正态分布。可同互补双对数模型一样用代码构建模型，只需将连接函数设为probit，即link=probit，同样，得到的拟合值如表2所示，代码如下：

>fit.cprobit<-vglm（cbind（y1，y2，y3，y4，y5）～gender+race，family=cumulative（link=probit，parallel=TRUE）， data=w）

>fitted<-predict（fit.cprobit，type = "response"）；round（fitted*1000，1）

3.4 模型擬合评价

本文分别用BIC和AIC准则[4-5]对上述模型进行评价，对于具体的公式及证明在此不讨论，有兴趣者可参考相关文献。当模型的BIC和AIC值越小，说明模型拟合的越好。下面分别给出代码计算各模型的AIC和BIC值，结果如表3所示，代码如下：

>AIC（CLL_fit）；BIC（CLL_fit）；AIC（AL_fit）；BIC（AL_fit）；AIC（fit.cprobit）；BIC（fit.cprobit）

综合上面代码得到表2和表3的结果，比较发现：表1中模型（1）的拟合数据比表2中另外两种模型的拟合值更接近真实值，尤其是在年龄大于60的那一列，而且比较表3中三个模型的AIC和BIC值可知模型（1）的值明显小于另外两种模型，因此，表明对于这样一类特殊数据，互补双对数模型具有明显的优势。

由互补双对数模型拟合的输出结果，可以得到4个回归方程分别为

log{-log[1-P（Y≤1）]}=-4.21-0.54X+0.61Z，

log{-log[1-P（Y≤2）]}=-3.19-0.54X+0.61Z，

log{-log[1-P（Y≤3）]}=-2.58-0.54X+0.61Z，

log{-log[1-P（Y≤4）]}=-1.52-0.54X+0.61Z。

由互补双对数模型给出的性质有P（Y>j|X=1，Z）=P（Y>j|X=0，Z）exp（0.54），即在给定肤色的情况下，男性寿命长于固定时间的比例是女性比例的exp（0.54）=1.71次方；在给定性别时，黑人寿命长于某一固定时间的比例是白人比例的exp（0.61）=1.84次方，并且可以得到对于寿命长于某一固定时间，黑种男人的比例是白种女人比例的3.55次方。

4 结束语

对于互补双对数线性模型主要用于误差分布是极值分布的情况，如上例所示，其可以对自变量进行选择，也可以估计概率的大小，从而得到拟合值，当因变量是二分变量时，可以用于预测分类，在文献[6-7]中给出了相关实例分析，说明了在误差分布非对称时，互补双对数模型体现一定的优势，而且R语言能够很有效，简洁完成分析过程，从而也说明R语言是一款很好的统计分析工具。

参考文献：

[1] AGRESTI，ALAN. Analysis Of Ordinal Categorical Data，Second Edition[M]. Canada：Wiley，2010.

[2] BOLARINWA，OLUBUSOYE O E. On the sensitivity of probit and complementary log-log models to violated tolerance[J]. 2013，12：351-360.

[3] AGRESTI，ALAN. An Introduction to Categorical Data Analysis[M]. Wiley，New York，Duxbury Press，1996.

[4] BURNHAM K P，ANDERSON D R. Multimodel Inference understanding AIC and BIC in model selection[J]. Sociological Methods & Research，2004，33（33）：261-304.

[5] KUHA J. AIC and BIC comparisons of assumptions and performance[J]. Sociological Methods & Research，2004，33（2）：188-229.

[6] 肖珉，周宗放. 基于互补双对数模型的企业集团财务困境预测研究[C]. 中国灾害防御协会风险分析专业委员会第四届年会论文集，2010：976-981.

[7] 史芳芳，杨海珍，徐昭，等. 基于互补双对数模型的国际资本流入风险影响因素研究[J].数学的实践与认识，2016，46（10）：91-96.