数学证明方法与算法实现关系分析

李珍真

摘要：数学证明方法与算法实现之间存在着较为密切的关系，只有应用恰当的数学证明方法，才能够更好更快地解决数学问题。文章主要分析了几种主要的数学证明方法，并陈述了其与算法实现的关系，最后提出问题的解决方法。

关键词：数学证明方法：算法实现：关系

在对数学的研究过程中，会发现存在着多种多样的数学证明方法，经常使用的数学证明方法有构造性证明、反证法、数学归纳法等，在实际应用这些方法解决数学问题的过程中，有的只会应用到其中的一种数学证明方法，而有的则需要结合几种数学证明方法才能够很好地将相关的数学问题加以解决。应用程序设计来解决数学中的算法问题有的时候能够较容易地加以解决，而有时候涉及较为复杂的算法问题就会面临相应的困难。而数学证明方法与程序设计的算法实现之间存在着较为密切的关系，将其结合起来有助于更好地解决数学问题。学生在学习高等数学的过程中，教师应当注意传授相应的数学思想，这对于提升学生的数学素质是非常有帮助的。本研究主要阐述了高等数学中经常使用的数学证明方法。

1 递推方法与数学归纳法分析

了解高等数学的都应当明确，递推方法与数学归纳法是在高等数学学习过程常常会被应用到的数学证明方法，并且在解决相关的数学问题时能够起到较好的效果。譬如，在学生学到线性代数、数值分析的相关内容时，都多多少少会应用到上述的证明方法。学生在学习高等数学的过程中，对递推方法与数学归纳法会有一定的了解，在证明数学问题的过程中也会应用到这些方法，但是他们往往对于这些方法到底是怎么来的在头脑中并没有明确的认识。但是，学生所应用的递推方法与数学归纳法都是前人通过较为严谨的推导过程所推导出来的，学生只有了解了这些方法的推导过程才能够将其更好地应用于解决数学问题的过程中，否则只能是生搬硬套，不利于学生数学素质的提高。下面通过具体的例子来加以说明递推方法与数学归纳方法在高等数学中的应用。

譬如在求Flbonacci的数列1，2，3，5，8，13通项公式中的具体应用。通过分析，能够得出上述数列的通项公式，即f（x）=1/√5[（1+√5）/2]n+1一l/√5[（1-√5）/2]n+1（n=0，1，……）。其实通过仔细分析可以明确，以上通项公式是在以下递推公式的基础上得出来的即fo=1，f1=l，fn=fn-1+fn-2（n=2，3，……）。

当学生在看到上面较为复杂的通项公式时可能会感到有点畏惧，这时候就需要让学生明确任何复杂的公式都是可以应用递推的方法一步步推出来的，这样就可以激发学生学习高等数学的动力。

再比如在求∑ik的求和公式的过程中，有很多高等数学的教科书都会先引入定积分的相关公式来进行计算，与此同时，将0～1这个区间分成n个等份，将小曲边梯形的高度用右端点的高度来加以代替，从而求和来得出三角形的近似面积，在求和的过程中应注意尽量达到极限，这样才能够使得近似值更加接近准确的数值。同样，在求和的过程中也会应用到一个非常重要的公式，即∑i2=[n/（n+1）（2n+1）]/6。当列出这个公式时，学生也会产生疑问，这么复杂的公式又是如何得到的呢，这时教师可以顺势将这个公式的递推公式列举出来，从而帮助学生理解递推及归纳的数学方法。

2 递归方法与数学归纳法分析

前面所陈述的递归方法主要是从简单的公式来推出较为复杂的公式，但是在应用程序设计解决算法问题的过程中，却刚好是相反的过程，是从较为复杂的公式来推出简单的公式。应用程序设计来解决数学问题的重要优势是能够将数学问题变得更加简单易懂，从而有利于数学问题的解决，但是应用程序设计来解决数学问题也存在着劣势，即刚开始时的数学公式过于复杂，需要较大的内存容量，计算的速度也会较慢，在实际实现的过程中会面临较多的困难。因此，在应用程序设计解决相关的数学问题时，应用一定的递归方法是非常有必要的。

譬如，有的算法像Hanoi塔問题就需要应用到递归的数学方法，该问题具体讲的是：在该塔中存在3个柱子，分别记为A，B，C，在A柱上按照大小顺序串数量不等、形状不一的盘子，现应用B柱将A柱的盘子挪到C柱上，在挪动时仍然要注意保持大小顺序。在计算该问题的过程中，如果在n不是太大的情况下，利用递归的方法能够很好地将该问题加以解决，当n比较大使得该问题比较复杂时，应用递归的方法也会存在一定的困难。

当数学问题较复杂不能够用递归方法解决时，可以选择使用循环结构的方法来解决数学的相关问题，这样可以保证在较快的速度下解决数学问题。

3 递推式子计算的稳定性分析

在应用递推式子来解决数学问题的过程中，应当注意保持递推式的稳定性，因为相对其他方法来说，该方法的稳定性较差。

譬如在计算In=∫01xnex-1dx9（n=20），应用分部积分的公式可以很好地导出相应的计算公式。应用数学的思想方法，这种方法已经是较好的计算方法了，但是在真正运用到计算的过程中并没有表面上看的那么好，会经常存在计算的误差，不能够获得较为稳定的计算结果，这样的结果也是非常不可靠的。

4 理论证明与算法实现分析

数学是一门非常严谨的学科，在高等数学中表现得非常明显，在解决数学的问题中需要借助较为严谨的理论证明，但是理论证明在实际应用的过程中是需要推理的，这使得算法的实现存在一定的困难。譬如在高等数学代数中矩阵的分解的Schur定理。通过分析可以发现，应用理论证明方法来实现算法存在一定的困难。当n的数值较大时，先明确一个特征值就存在一定的困难。但是这个问题的最终目标就是寻求特征值，而又需要在求解的过程中将特征值作为己知条件，这就说明在计算的过程中存在一定的矛盾。

5 反证法、存在性与构造性证明

反证法也是在高等数学的学习过程中解决数学问题时经常会使用到的数学方法，尤其在解决较为复杂及困难的数学问题时能够起到较好的作用。

但是在应用反证法解决有关的数学问题时，可以通过反证法来说明命题的正确性，但却不能够很好地去说明其命题的具体构造性。譬如在证明“不存在最大的素数”的问题时应用的证明方法就是反证法。假设存在n个素数，分别记为nl，n2，n3，……，n4，令P=n1，n2，n3，…，np+l，那么，从中可以明显看出，P也是素数。这里面会存在一定的矛盾，再应用矛盾证明命题的正确性。如果设定一个自然数M，在自然数M中寻找大于M的素数时并不能够求出其具体的公式，这使得寻找大素数成为一个较大的困难。

在高等数学的有些命题中，确实存在一些较为隐蔽的己知信息不易被发现，但是这些隐蔽的己知信息对于求解数学问题是非常有必要的。譬如在高等数学微积分的Tayor的公式中，应用该公式去推导一些基本的函数公式存在一定的困难，还需要借助其他的公式才能够解决相应的数学问题。

有些结论本身是成立的，也可以应用反证法证明其正确性，但在一定条件下也可以采用构造法来加以构造，譬如在高等数学微积分中常用的Poincare不等式中，就可以应用反证法来证明其存在的合理性，但是在具体应用过程中只是明确其存在性是远远不够的，这时候就需要一定的构造法才能更好地解决该问题。

6 问题的解决措施

在应用上述证明方法时，应当注意坚持一个基本的原则，在解决数学问题的过程中应尽量保持简洁性。一个方法越简洁，并且也能够取得相应的证明效果，说明这个方法越好。譬如在高等数学插值理论中想要证明其存在的唯一性，可以利用的数学证明方法有很多，其中的一種证明方法是非常简洁的，这种方法只需要证明齐次插值具有唯一的零解即可。但是这种简洁的方法也存在一个很大的缺陷，就是不能够很好地解决构造问题，在实际应用过程中并不能够较好地将其内在作用发挥出来。如果从实际应用的角度来加以考虑，往往采用插值函数的方法来解决上述问题。构造的方法当然应用起来相对比较复杂。如果更多的考虑实际应用，往往采用的较好的方法是构造法，但是如果构造法的使用难度较大，就可以考虑使用较为简洁的方法，如反证法、存在性证明的方法等。教师应当注意引导学生能够充分发挥主观能动性，能够学会解决不同的情况下的不同的问题，这样能够帮助学生更好地解决数学问题，与此同时，也能够让学生在解决问题的过程中提升其数学素质。

7 结语

综上所述，数学证明方法与算法实现之间存在较为密切的联系，在应用一定的证明方法解决相应的数学问题时也会遇到一定的困难。因此，教师帮助学生学习数学证明方法的过程中，也应当提醒学生，应当充分发挥主观能动性，能够针对不同的问题选择最合适的数学证明方法，这样才能够提高解决数学问题的效率，从而更好地解决相关的数学问题。

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