挖掘一道课本复习题的教学价值

孟炎��

摘 要：作为教学一线的教师，我们必须充分重视课本习题，对典型的习题还要从多角度挖掘其典型的教学价值，这样做不仅能加深学生对数学概念、法则、定理等基础知识的理解和掌握，让学生在解题的准确性、灵活性和敏捷性上达到新的高度，而且对开发学生智力，培养学生良好的思维品质亦有好处。本文通过对课本一道习题的教学谈谈自己的一些想法。

关键词：数学复习题；教学价值

中图分类号：G633.6 文獻标识码：A 文章编号：1992-7711（2016）24-119-1

苏教版必修五第2章《数列》复习题第17题为：

在等差数列{an}中，已知Sp=q，Sq=p（p≠q），求Sp+q的值。

这道题如果就题论题讲解，不要花费多少时间，但是这道题的教学价值没有得到应有的体现。教师若能引导学生多方位去探求各种不同的解法，不仅能系统梳理、复习等差数列的有关基础知识，而且对等差数列内在的本质属性会有更深刻的认识。

为便于全面挖掘本题的教学价值，我们先把问题特殊化，考虑下列问题：

在等差数列{an}中，已知S10=100，S100=10，求S110的值。

设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn。

解法1：由S10=100，S100=10得

10a1+10×92d=100，（1）100a1+100×992d=10，（2），

解得a1=1099100，d=-1150。所以S110=110a1+110×1092d=-110。

注：该解法思路自然，是一种常规解法，最常规的方法也是最有效的方法，所有的学生都必须理解、掌握。该解法的缺点是但运算量相对较大。

解法2：数列S10，S20-S10，S30-S20，…S60-S50，…S100-S90，S110-S100（*）成等差数列，设该等差数列的公差为D，数列前10项和为10S10+10×92D=S100=10，∴D=-22，

该数列第11项为S110-S100=S10+（11-1）（-22）=-120，∴S110=-110。

注：该解法运用了等差数列的性质：等差数列的依次每k项之和仍组成等差数列。

解法3：数列（*）的前10项和为S100=10，而S10=100，

所以等差数列S20-S10，S30-S20，…S60-S50，…S100-S90的前9项之和为-90，

即-90=9（S60-S50），∴S60-S50=-10，

而数列S10，S20-S10，S30-S20，…S60-S50，…，S100-S90，S110-S100的和为中间一项的11倍，

∴S110=S10+（S20-S10）+…+（S110-S100）=11（S60-S50）=11×（-10）=-110。

注：该解法两次运用了等差数列的性质：S2n-1=（2n-1）an。

解法4：由于{an}为等差数列的充要条件为其前n项和为Sn=An2+Bn，

将S10=100，S100=10代入上式可得A=-11100，B=-11110，

∴Sn=-11100n2+11110n，∴S110=-110。

注：该解法注意到等差数列前n项和的公式的结构特征，Sn=An2+Bn，利用待定系数法求解确定等差数列的前n项和。

解法5：∵Sn=na1+n（n-1）2d，∴Snn=a1+（n-1）d2，

∴（n，Snn）是直线y=（x-1）d2+a1上的一串点，

显然（10，10），（100，110），（110，S110110）共线，∴S110=-110。

注：由Snn=a1+（n-1）d2联想到直线方程。等差数列的前n项和为Sn，当n取不同的值时，（n，Snn）是共线的一系列点。

解法6：由S110=110a1+110×1092d=110（a1+1092d）。

∴10a1+10×92d=100，（1）100a1+100×992d=10，（2），由（2）-（1）得a1+1092d=-1，

上述等式两边同乘以110得S110=-110。

注：整体代换可以极大地减少运算量，而运用整体代换的前提是准确认识问题的结构特征。

以上分析可以发现，解决问题的关键是熟练掌握等差数列的定义、通项公式、前n项和的公式等基础知识，而如果对数列的性质有清楚的认识，则可以让问题的求解变得更加简洁。

我们回到原问题，从上述解法可以知道，用解法1、2、4、5、6都可以解决该题，下面我们先用解法6来求解。

由Sp=q，Sq=p，得pa1+p×（p-1）2d=q，（3）qa1+q×（q-1）2d=p，（4）

（3）-（4）整理得a1+p+q-12d=-1，

两边同乘以p+q得（p+q）a1+（p+q）（p+q-1）2=-（p+q），

即Sp+q=-（p+q）。

利用例4的解法也可以进行整体代换：

设Sn=An2+Bn，由Sp=q，Sq=p（p≠q）得

Sp=Ap2+Bp=q，（1）Sq=Aq2+Bq=p，（2）

（1）-（2）得A（p2-q2）+B（p-q）=q-p，

A（p+q）+B=-1，

Sp+q=A（p+q）2+B（p+q）=-（p+q）。

数学解题教学，题不在多，关键是充分挖掘已有问题的教学价值，让学生通过一道问题不仅能够复习巩固相关的基础知识，对相关的概念、公式的理解上一个台阶，而且能够掌握求解这一类问题的一般方法，更要让学生体会数学的思想方法。上述问题中，解法1、解法4渗透了函数与方程的思想，解法2、解法3、解法6都用到整体代换的思想，解法5实际上是数形结合思想的应用，这中间还渗透特殊和一般转化的思想：当问题困难时把问题特殊化，简单的特殊的问题解决了，再把问题一般化，而解决特殊问题时的方法对解决一般问题是有启发的。这样的教学让学生所掌握的一般的思想方法可以迁移到解决其他问题，学生分析问题、解决问题的能力也就得到了提升。