离心率的几何意义

陆建根��

摘 要：离心率是圆锥曲线的一个重要性质，椭圆和双曲线的离心率用e=2c2a来定义，对椭圆来说，离心率反映椭圆的扁平程度，对双曲线来说，离心率反映双曲线渐近线的开口程度。根据圆锥曲线的第二定义，离心率e还可以统一表示为圆锥曲线上的点到焦点的距离与到相应准线的距离之比。实际上，圆锥曲线的离心率除上述几何意义外，还有很多其它的几何意义，还有一些统一的几何解释。

关键词：高中数学；离心率；几何意义

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2016）24-116-2

性质1 过圆锥曲线：x2a2+y2b2=1，x2a2-y2b2=1，y2=2px通径的端点P作倾斜角互补的弦PE、PF，则直线EF的斜率等于圆锥曲线的离心率或离心率的相反数。

证明：（1）椭圆x2a2+y2b2=1，不妨设P（c，b2a），设PE斜率k，则PF的斜率为-k，

由x2a2+y2b2=1y-b2a=k（x-c），得（k2a2+b2）x2+（2kab2-2k2a2c）x+a2（b2a-kc）2-a2b2=0，

xP+xE=-2kab2-2k2a2ck2a2+b2，而xP=c，

∴xE=-2kab2+k2a2c-b2ck2a2+b2，yE=kxE-kc+b2a，

将k换成-k得，∴xF=2kab2+k2a2c-b2ck2a2+b2，yF=-kxF+kc+b2a，

∴kEF=yE-yFxE-xF=k（xE+xF）-2kcxE-xF=k·2k2a2c-2b2ck2a2+b2-2kc-4kab2k2a2+b2=ca=e。

证明：（2）双曲线x2a2-y2b2=1，不妨设P（c，b2a），设PE斜率k，则PF的斜率为-k，

由x2a2-y2b2=1y-b2a=k（x-c），得（b2-k2a2）x2-（2kab2-2k2a2c）x+a2（b2a-kc）2-a2b2=0，

xP+xE=2kab2-2k2a2cb2-k2a2，又xP=c，

∴xE=2kab2-k2a2c-b2cb2-k2a2，∴yE=kxE+b2a-kc，

将k换成-k得，∴xF=-2kab2-k2a2c-b2cb2-k2a2，yF=-kxF+b2a+kc，

∴kEF=yE-yFxE-xF=k（xE+xF）-2kcxE-xF=k·-2k2a2c-2b2cb2-k2a2-2kc4kab2b2-k2a2=-ca=-e。

证明：（3）设抛物线y2=2px，不妨设P（p2，p），设PE斜率k，则PF的斜率为-k，

由y2=2pxy-b2a=k（x-c），得y2-2pky+2p2k-p2=0，

yP+yE=2pk，∴yE=2pk-p，xE=yEk-pk+p2，

将k换成-k得，yF=2p-k-p，xF=yF-k+pk+p2，

∴kEF=yE-yFxE-xF=yE-yFyE+yFk-2pk=4pk1k（-2p）-2pk=-1。

我們知道圆锥曲线中e为离心率，是圆锥曲线上的点到焦点的距离与到相应准线的距离之比，那么e2有没有几何意义？如果有，那么e2具体的几何意义又是什么呢？

性质2 已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）上两个动点A（x1，y1），B（x2，y2），其中x1≠x2，x1+x2=2x0（x0为常数），则线段AB的垂直平分线过定点C（e2x0，0）。

证明：设AB中点的纵坐标为y0。

当x0=0或y0=0时，显然成立。

当x0≠0且y0≠0时，

由条件得x21a2+y21b2=1，x22a2+y22b2=1，

∴（x1+x2）（x1-x2）a2+（y1+y2）（y1-y2）b2=0，

即（y1+y2）（y1-y2）（x1+x2）（x1-x2）=-b2a2，

则y0x0·y1-y2x1-x2=-b2a2，∴kAB=-b2a2·x0y0。

则线段AB的垂直平分线的方程为y-y0=a2y0b2x0（x-x0），

令y=0，得x=c2a2x0=e2x0。

∴线段AB的垂直平分线过定点C（e2x0，0）。

特别地，当A，B两点重合，即A，B成为椭圆的切线时，切点设为M（x0，y0）。当x0≠0，y0≠0时，切线方程为xx0a2+yy0b2=1，切线斜率为-b2x0a2y0，所以该切线在点M处的法线的斜率为a2y0b2x0，法线方程为：y-y0=a2y0b2x0（x-x0），令y=0，得x=c2a2x0=e2x0，即切线AB在点M处的法线也经过点（e2x0，0）。当x0=0或y0=0时，显然也成立。

性质3 已知双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）上两个动点，A（x1，y1），B（x2，y2），其中x1≠x2，x1+x2=2x0（x0为常数），则线段AB的垂直平分线过定点C（e2x0，0）。

证明：设AB中点的纵坐标为y0。

当x0=0或y0=0时，显然成立。

当x0≠0且y0≠0时，

由条件得x21a2-y21b2=1，x22a2-y22b2=1，

∴（x1+x2）（x1-x2）a2-（y1+y2）（y1-y2）b2=0，

即（y1+y2）（y1-y2）（x1+x2）（x1-x2）=b2a2，

则y0x0·y1-y2x1-x2=b2a2，∴kAB=b2a2·x0y0，

则线段AB的垂直平分线的方程为y-y0=-a2y0b2x0（x-x0），

令y=0，得x=c2a2x0=e2x0。

∴线段AB的垂直平分线过定点C（e2x0，0）。

特别地，当A，B两点重合，即A，B成为双曲线的切线时，切点设为M（x0，y0）。当x0≠0，y0≠0时，切线方程为xx0a2-yy0b2=1，切线斜率为b2x0a2y0，所以该切线在点M处的法线的斜率为-a2y0b2x0，法线方程为：y-y0=-a2y0b2x0（x-x0），令y=0，得x=c2a2x0=e2x0，即切线AB在点M处的法线也经过点（e2x0，0）。当x0=0或y0=0时，显然也成立。

性质4 对焦点在x轴上、中心在原点的椭圆、双曲线，e2是弦AB的中垂线（AB不平行与x轴）与x轴交点的横坐标与AB中点横坐标的比值，特别地，当AB与椭圆或双曲线相切时，切点为M（M不在y轴上），则e2为点M处的法线与x轴交点的横坐标与M点横坐标的比值。

性质5 过椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的准线与长轴所在直线的交点K作椭圆的切线，切点为A，则切点A在长轴上的投影恰为椭圆的焦点F，且切线斜率正切值的平方等于椭圆的离心率平方。

证明：设椭圆C：x2a2+y2b2=1的左焦点为F，左准线l′与x轴交与K（-a2c，0），左焦点为F（-c，0），

过K的直线切椭圆于A（x0，y0），考虑椭圆上半部分，得y=baa2-x2，求导数得y′=-ba·xa2-x2，由题意得

y0x0+a2c=-ba·x0a2-x20，将y0=baa2-x20代入整理得x0=-c，y0=b2a，所以tan∠AKF=b2a-c+a2c=ca=e，∴k2=e2。所以切点A在长轴上的投影恰为椭圆的焦点F切线斜率正切值的平方等于椭圆的离心率平方。

同理可得以下性质：

性质6 过双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的准线与实轴所在直线的交点K作双曲线的切线，切点为A，则切点A在实轴上的投影恰为双曲线的焦点F，且切线斜率正切值的平方等于双曲线的离心率平方。

性质7 过抛物线y2=2px的准线与对称轴轴所在直线的交点K作抛物线的切线，切点为A，则切点A在對称轴上的投影恰为抛物线的焦点F，且切线斜率正切值的平方等于抛物线的离心率平方。

以上性质可以作为课堂教学的拓展或者研究性学习的素材，引导学生自己去研究、整理，也可以作为教师命题的材料，只要对以上性质给具体赋值，都可以作为试题加以应用。