谈数学概念表象的深刻直觉

曹荣荣+田磊+王彩芬+纪春静

摘要：高等數学的概念教学是数学学习的关键，学生获得一个数学概念的理解意味着要形成该概念的表象，仅仅知道概念定义并不能保证真正理解这个概念。个体拥有的概念表象是具有一定层级水平的，而深刻直觉是概念发展的一个特定阶段。本文在Tall数学“三个世界”的理论框架下针对具体案例进行了阐述。

关键词：概念表象；数学“三个世界”；深刻直觉；三角形；四面体

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）20-0236-02

一、理论背景

高等数学中的概念在教与学中起着重要的作用。“概念定义”和“概念表象”之间的不同在数学认识论和教学法上具有重要意义，正如Vinner指出的“当我们执行认知任务时，思维并不是诉诸于概念定义，而是受概念表象的指导。在遇到新任务的时候，学生们就需要头脑中的概念表象”。

“概念表象”和“概念定义”理论最初是由Vinner&Hershkowitz提出的，后来由Tall&Vinner进行了发展，再后来Morre又进行了修改。在我们的认知结构中，其实存在概念定义和概念表象两个不同的“细胞”。概念定义是直接描述的，它是以词语和符号的形式被教师或教科书用来定义数学概念的。Tall&Vinner指出“概念表象”是个体在头脑中对概念的整个认知表征，包含思维图像、相关性质和过程等。这种思维表征是在不同水平上建立的，因此会产生不一致或者概念表象本身可能会产生混淆或不协调。Semadeni认为“深刻直觉”是概念表象发展的一种水平，它是概念表象发展到一定的水平结果，这也是在Tall的数学“三个世界”的理论框架下提出来的。

概念表象是在经验的基础上经过多年累积形成的，它是一个动态的概念实体，它是不断发展的，每个学生一般都拥有不同的概念表象，比如减法概念，首先是涉及到正整数的一个过程，在这个阶段，学生可能观察到数的减法总是减少，对他们来说这个观察就是概念表象的一部分，但后来这种理解可能会引起问题。

Tall的数学“三个世界”理论区分了数学思维的三个模式。这“三个世界”在某种意义上来说是具有层级的，第一世界称为“概念—感知”世界，又称为“具体化世界”。个体利用他们对现实世界的物理感知来完成思维实验，比如儿童对现实世界物体的分类或对极限的直觉体验等。第二个世界称为“程序—符号”世界，又称之为“符号化世界”，个体开始对来自于第一世界的思维想法进行程序性操作，通过符号的使用凝聚为概念，这个符号既表示过程也表示概念，比如“数”和“和”概念等。第三个世界称为“形式—公理化”世界，又称之为“形式化世界”，这里关注的则是数学公理化体系理论。

二、具体案例

在20世纪，整个数学共同体中并没有形成统一的关于“三角形”正式的形式化定义，但却存在以下三方面的共识。

1.三角形就是一个无序的、不共线的三点A，B，C的集合{A，B，C}。他们认为点{A，B，C}其实是一个“零维”集合，可以形象地认为三角形就像是天空中的三颗星星。

2.三角形是一个含有三个顶点的多边形，即三条线段AB、BC、CA的一个集合，Hilbert认为三角形上的点即是AB∪BC∪CA上的点。这其实是把三角形看作“一维”图形，在他们看来，三角形就是要画出三角形的三条边。

3.三角形△ABC可以看作三个半平面相交而形成的图形。事实上，这是在“二维”视角下将三角形看作是一个扁平的图形。

对“三角形”概念的所有认知都是不同“具体化”理解的结果。当个体进行三角形命题的推理时，三角形的所有这些概念表象的混合可能会同时被激起，也就是说当个体能够理解简单的涉及三角形的欧几里得几何证明时，此时三角形的概念表象则达到了深刻直觉的水平。事实上，个体在执行任务时不需要知道三角形的上述图形，但是个体需要理解他们以及彼此的关系。

从形式化的观点上看，这几个图形是不同的数学对象，因此三角形会有不同的概念定义，但是在深刻直觉下他们却是同一个思维对象，因此对“三角形”概念的多元化认知会帮助个体灵活地运用不同的数学对象。

再比如“四面体”，我们可以把四面体看作是有边界的封闭固体点的集合，也可以看作是包含四个面、六个边、四个顶点的一个结构体。同时，如果把四面体可以看作一个三棱锥，这样有一个面和其他三个面不同，则称之为三棱锥的底。这些观点都是建立在“具体化世界”的基础上而形成的概念表象。事实上，四面体是一个度量空间，它是向量空间或仿射空间中的一个凸集。这种认知则是在“公理化世界”的背景下建立的，同样适用于“符号化世界”。

所有这些关于四面体的不同观点在Freudenthal针对数学结构的讨论中都提及到了。如果个体的概念表象包含了上述一个或更多方面，这时我们就说个体达到了概念理解的深刻直觉水平。

三、建议结论

深刻直觉，作为概念表象发展的一个特定水平，它其实是深深植根于数学“三个世界”的“具体化世界”中。尽管深刻直觉并不能直接观察到，也不能推断出，但是它却能提供一种思路来探究数学。深刻直觉可以假定为概念理解的一个台阶，在个体能够理解演绎推理之前，他们就需要事先形成一些具体特定的深刻直觉。拥有概念的深刻直觉，个体就可以把它作为一种内在思维灵活、自由地运用。同时，发展深刻直觉也是培养学生演绎推理的关键因素。

参考文献：

[1]Tall，D.O.Introducing three worlds of mathematics. For the learning of Mathematics，2004，23（3）：29-33.

[2]Vinner，S.Concept definition，concept image and the notion of function，International Journal of Mathematics Education in Science and Technology，1983，（14）：239-305.

[3]Vinner，S.，&Hershkowitz，R.Concept image and common cognitive paths in the development of some simple geometrical concepts.Proceedings of the Fourth International Conference for the Psychology of Mathematical Education，1980：177-184. Berkeley CA.

[4]Tall，D.& Vinner，S.Concept image and concept definition in mathematics with particular reference to limits and continuity. Educational Studies in Mathematics，1981，12（2）：151-169.

[5]Morre，R.Making the transition to formal proof.Educational Studies in Mathematics，1994，（27）：249-266.

[6]Semadeni，A.Deep intuition as a level in the development of the concept image.Educational Studies in Mathematics，2008，（68）：1-17.

[7]Freudenthal，H.Revisiting mathematical education.China lectures.Dordrecht：Reidel，1991.