基于核与灰半径序列的GM(1，N)预测模型及其在雾霾中的应用

熊萍萍,李军,张倩,张雪纯

(南京信息工程大学 a.数学与统计学院;b.气象灾害教育部重点实验室;c.气候与环境变化国际合作联合实验室;d.气象灾害预报预警与评估协同创新中心，南京 210044)

基于核与灰半径序列的GM(1，N)预测模型及其在雾霾中的应用

熊萍萍a,b,c,d,李军a,张倩a,张雪纯a

(南京信息工程大学 a.数学与统计学院;b.气象灾害教育部重点实验室;c.气候与环境变化国际合作联合实验室;d.气象灾害预报预警与评估协同创新中心，南京 210044)

既有的关于GM(1,N)模型的研究,都是建立在实数序列基础上,文章将对GM(1,N)模型进行拓广,深入探讨该模型在区间灰数序列情形下的建模机理和建模方法,提出了基于核与灰半径的GM(1，N)模型。将以区间灰数序列的核序列和灰半径序列为基础建立GM(1，N)预测模型,进而对区间灰数序列的核与灰半径进行模拟预测,根据核与灰半径的计算公式推导出区间灰数的上界和下界,从而实现对区间灰数序列的模拟预测。最后,将文中提出的GM(1，N)模型应用于对霾存在时的空气质量指数AQI的预测研究中,模拟预测效果较好,从而验证了该模型的有效性和可行性。

灰色系统理论;GM(1，N)预测模型;区间灰数;核与灰半径

0 引言

邓聚龙教授在20世纪80年代初提出的灰色系统理论已经广泛应用于我们的社会、经济、科技等各个领域。灰色模型是灰色理论的重要内容[1],如GM(1,1)模型,GM(1,N)模型等,其中GM表示Grey Model,即灰色模型,GM(1,1)表示一阶微分方程、一个变量的灰色模型;GM(1,N)表示一阶微分方程、N个变量的灰色模型。GM(1,N)模型是一阶多变量灰色模型,该模型中包含一个系统行为变量和N-1个影响因子变量,该模型主要分析多个影响因子变量对系统行为变量的作用,在已知影响因子变量的变化趋势的情形下,还可以对系统行为变量作预测[2]。一些学者利用GM(1,N)模型对实际问题进行预测研究,如对东北地区粮食综合生产能力进行预测[3],对股票价格进行预测[4],对广东海洋经济进行预测[5],GM(1,N)模型得到较广泛的应用。

目前,针对区间灰数序列的灰色预测模型主要集中于单变量GM(1,1)模型。通过区间灰数的核序列和灰度序列,运用灰度不减公理对区间灰数的GM(1,1)模型进行预测[6];也有部分学者通过区间灰数的核序列和灰度序列以及区间灰数的运算法则,对区间灰数的GM(1,1)模型进行预测[7];在区间灰数的核与灰半径的基础上,求得连续区间灰数的上界和下界,实现对连续区间灰数的预测[8];也可以运用灰数带和灰数层对区间灰数进行预测[9]。杨锦伟研究了在不确定信息广泛存在的正态分布背景下区间灰数序列的灰色预测问题[10]。曾波通过包络线将振荡序列拓展为具有明确上界与下界的区间灰数序列,对区间灰数振荡序列进行模拟与预测[11]。叶璟在充分挖掘和拓展“灰度不减”公理的基础上,建立了区间灰数预测模型[12]。李晔从三参数区间灰数序列中提取出核序列、“重心”点序列和精确度序列,在不破坏灰数整体性的前提下,构建了三参数区间灰数的预测模型[13]。以上研究对区间灰数序列的灰色预测建模有一定的促进作用,但主要集中于单变量灰色预测模型。

一些学者也对GM(1,N)模型进行了研究,利用粒子群优化算法求解灰色多变量GM(1,N|γ，τ)模型中的相关参数,并对系统行为序列进行预测[14];研究了基于Simpson公式的GM(1,N)建模的新算法[15]和广义灰色多变量GM(1,N)模型及算法[16]。王正新先后探讨了灰色多变量GM(1,N)幂模型及灰色时滞多变量GM(1,N)模型的建模机理[17,18]。然而,目前关于GM(1,N)模型的研究,都是建立在实数序列基础上,本文将对GM(1,N)模型进行拓广,深入探讨该模型在区间灰数序列情形下的建模机理和建模方法。首先求出系统行为变量序列和N-1个影响因子变量序列的核与灰半径序列,其次对系统行为变量序列和N-1个影响因子变量序列的核序列建立GM(1,N)模型,并对系统行为变量序列和N-1个影响因子变量序列的灰半径序列建立GM(1,N)模型,然后利用系统行为变量序列的核与灰半径序列的模拟预测值,从而可以得到系统行为变量相应的区间灰数的上界与下界的模拟预测值,最后运用文中所构建的模型对空气质量指数序列进行预测分析。

1 基本概念与公理

定义1:设灰数⊗∈[a,b],a

定义3:由区间灰数⊗k∈[ak,bk],k=1,2,3,…构成的序列称为区间灰数序列X(⊗);X(⊗)中所有的上界组成的序列,称为X(⊗)的上界序列,记为Xb=(b1,b2,…,bn);X(⊗)中所有的下界组成的序列,称为X(⊗)的下界序列,记为Xa=(a1,a2,…,an);X(⊗)中所有的核组成的序列,称为X(⊗)的核序列,记为X⊗=(⊗1,⊗2,…,⊗n);X(⊗)中所有的灰半径组成的序列,称为X(⊗)的灰半径序列,记为Xr=(r1,r2,…,rn)[9]。

2 基于区间灰数序列核与灰半径的GM(1,N)模型

GM(1,N)模型是一阶多变量灰色模型,该模型中包含N个变量,一个系统行为变量和N-1个影响因素变量。该模型主要分析多个影响因素变量对系统行为变量的作用,在已知影响因素变量的变化趋势的情形下,可以对系统行为变量进行预测。本节将主要介绍基于核序列以及灰半径序列的GM(1,N)模的建模机理。

2.1 基于核序列的GM(1,N)模型*GM(1,N)模型的建模机理详见编著“刘思峰，党耀国，方志耕，等.灰色系统理论及其应用[M].第5版.北京：科学出版社，2010”中的169-170页

…

为GM(1,N)模型。

(1)白化方程

的解为:

的近似时间响应式为:

⊗

(3)累减还原式为:

(4)GM(1,N)模型的差分模拟式为:

2.2 基于灰半径序列的GM(1,N)模型

…

为GM(1,N)模型。

(1)白化方程

的解为:

的近似时间响应式为:

(3)累减还原式为:

(k).

(4)GM(1,N)模型的差分模拟式为:

(k).

2.3 区间灰数上界和下界的推导

由命题(1)可以求得系统特征数据序列区间灰数的预测值:

3 实例分析

3.1 雾霾的定义

本文依照大气成分中的PM2.5的指标进行判定。当PM2.5浓度大于 75 μg/m3时,判定为霾;当PM2.5浓度小于等于75 μg/m3时,判定为非霾。相对湿度大于95%时,判定为雾。张建忠指出,通常将雾和霾同时存在且区域性能见度低于10 km的空气普遍浑浊现象称为“雾霾”天气。本文将“雾和霾同时存在”定义为“雾霾混合”。

在本文中研究的时期为2016年3月2日到3日,PM2.5浓度大于75 μg/m3,相对湿度小于95%,被判定为霾。即对霾存在时的空气质量指数AQI进行区间灰数预测。

3.2 GM(1，3)预测模型的构建

影响空气质量指数AQI的影响因素有很多,有PM2.5、PM10、SO2、CO、NO2、O3、风向、风速、气温、相对湿度、气压等。先对影响AQI的影响因素进行多元回归分析,采用2016年3月2日与3月3日每小时的数据,共48组数据。数据来源于中国空气质量在线监测分析平台。运用多元回归分析中逐步回归的方法,通过SPSS软件得到如下结果为:空气质量指数AQI有2个主要的影响因素,即相对湿度和PM2.5。

本文中选取某个时辰之前的六个小时中AQI与2个影响因素的最大最小值,产生区间灰数,求其核与灰半径,并建立GM(1.3)模型。这次试验选取了2016年3月2日的数据进行计算。数据来源于http:∥www.aqistudy.cn/historydata/。下面通过灰色系统建模软件进行数据计算,设空气质量指数AQI为X0,PM2.5为X2,相对湿度为X2.

已知原始数据为:

将前7个区间灰数序列数据作为建模数据,将第8个区间灰数作为预测数据。

表1 区间灰数序列

表2 AQI、PM2.5及相对湿度的核序列

3.2.1 AQI核序列的预测

步骤1:将原始数据通过计算,得到AQI、PM2.5及相对湿度的核序列,数据如表2。

步骤2:通过灰色系统理论建模软件可以得到,参数估计值为:a=2.01,b1=2.67,b2=-0.05。由软件可以得到,其平均相对误差为4.55%。

步骤3:通过计算得到AQI对应区间灰数序列的第8个区间灰数的核的预测值:

1 070.72-941=129.72，

3.2.2AQI灰半径序列的预测

步骤1:将得到的原始数据通过计算,得到AQI、PM2.5及相对湿度的灰半径序列,数据如表3所示。

表3 AQI、PM2.5及相对湿度的灰半径序列

步骤2:通过灰色系统理论建模软件可以得到,参数估计值为:a=2.22,b1=2.61,b2=0.13。由软件可以得到,其平均相对误差为5.04%。

步骤3:通过计算得到AQI对应区间灰数序列的第8个区间灰数的灰半径的预测值:

3.2.3 AQI对应区间灰数上界和下界的预测

根据核与灰半径的定义,推导出区间灰数序列上界和下界。已知

当k=7时,得到结果如下:

ak+1=123.99;bk+1=135.45，

即

从而可求得平均相对误差为Δ=0.97%。

在对空气质量指数AQI、PM2.5及相对湿度的核与灰半径分别建立的GM(1，3)模型中,得到核与灰半径的预测误差分别为0.98%和4.54%,对空气质量指数AQI对应的区间灰数上界和下界的预测结果的平均相对误差为0.97%,预测效果较好。

3.3 方法比较

为了进一步验证本文提出的模型的有效性,下面讨论当不考虑PM2.5和相对湿度的影响,直接采用移动平均法以及文献[9]中的预测方法对空气质量指数AQI进行预测。

从而可求得平均相对误差为Δ=2.37%。

⊗

从而可求得平均相对误差为Δ=3.34%。

移动平均法、GM(1,1)预测模型(文献[9])及本文提出的GM(1,3)预测模型对空气质量指数AQI对应的区间灰数序列第8个区间灰数的上界和下界的预测结果见表4。

表4 三种预测结果的比较

通过与移动平均法和GM(1,1)预测模型的预测结果进行比较分析,可知利用本文的建模思想构建的GM(1,3)预测模型的预测效果较好。这说明通过引入外部变量,将主要影响因素PM2.5和相对湿度引入空气质量指数AQI中,在一定程度上能更真实地反映系统行为变量即空气质量指数AQI的变化趋势。

4 结论

本文在实数序列GM(1,N)模型的基础上,建立了基于区间灰数序列的GM(1,N)预测模型。分别通过对区间灰数的核与灰半径序列建立GM(1,N)模型,进而得到区间灰数序列的上界和下界的模拟预测值。然后利用基于区间灰数序列的GM(1,3)预测模型对空气质量指数AQI在相对湿度和PM2.5浓度影响因素作用下进行模拟预测,其结果表明该预测模型具有较高的预测精度,验证了文中所建模型的有效性和实用性。

[1] 邓聚龙.灰色理论基础[M].武汉:华中科技大学出版社,2002.

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[18] 王正新.多变量时滞GM(1,N)模型及其应用[J].控制与决策,2015,30(12):2298-2304.DOI:10.13195/j.kzyjc.2014.1153.

GM (1, N) Prediction Model Based on Kernel and grey radius Sequence and Its Application on fog and haze

XIONG Pingpinga,b,c,d,LI Juna,ZHANG Qiana,ZHANG Xuechuna

(a.College of Mathematics and Statistics; b.Key Laboratoryof Meteorological Disaster,Ministry of Education (KLME); c.Joint International Research Laboratory of Climate and Environment Change (ILCEC); d.CollaborativeInnovation on Forecast and Evaluation of Meteorological Disaster(CIC-FEMD)Nanjing University of Information Science and Technology,Nanjing 210044,China)

The existing GM(1,N) model research is about the real number sequence.The GM(1,N) model is extended to explore the modeling mechanism and modeling method in the case of interval gray number series, then the GM(1,N) model based on kernel and gray radius is proposed. The GM(1,N) prediction model is established based on the kernel sequence and the gray radius sequence of the interval gray number sequence,and simulate and predict the kernel and gray radius of the interval gray series. According to the formula of kernel and gray radius, the upper and lower bounds of interval gray numbers are deduced to realize the simulation and prediction of the interval gray number series. Finally, the GM(1,N) model proposed is applied to predict the air quality index AQI in the presence of haze. The simulation results show that the model is effective and feasible.

grey system theory;GM (1,N)prediction model;interval grey number;kernel and grey radius

10.13451/j.cnki.shanxi.univ(nat.sci.).2017.02.017

2016-11-16；

2017-01-12

国家自然科学基金(71503103;41505118;71373131;71301060;71271226;71171116);江苏省高校自然科学研究面上项目(15KJB120008);国家社科基金(15BTJ019);中国博士后基金面上项目(2016M601849);中国制造业发展研究院2014年度开放课题(SK20140090-13);南京信息工程大学2013年基金预研项目(2013x012);2015年度大学生实践创新训练计划项目(201510300009)

熊萍萍(1981-),女,湖北咸宁人,汉,副教授,南京信息工程大学大气科学流动站博士后，研究方向:灰色系统建模。E-mail:xpp8125@163.com

N945.12

A

0253-2395(2017)02-0273-08