包含Euler函数φ(n)与函数Ω(n)方程的解

张四保

(喀什大学 数学与统计学院,新疆 喀什 844008)

包含Euler函数φ(n)与函数Ω(n)方程的解

张四保

(喀什大学 数学与统计学院,新疆 喀什 844008)

对任一正整数N,φ(N)为Euler函数,Ω(N)为N的素因数个数函数。讨论了方程φ(N)=2Ω(N)3Ω(N)的可解性,基于整数的分解获得了该方程的解。

Euler函数;因子函数;方程的解

Euler函数φ(N)是数论中的一类重要函数,对于有关方程φ(x)=n解的研究是一公开问题。对包含Euler函数φ(N)方程的研究,有着大量研究的文献,如[2-10]。本文将讨论包含函数Ω(N)与函数φ(N)的方程

φ(N)=2Ω(N)3Ω(N)

(1)

的解,即证明了以下结论。

定理1 对任一正整数N,则

1.1)当δi=1,i=1,2,…,k,若k=1,则N=7是方程(1)的解;若k=2,则N=3×19=57是方程(1)的解;若k=3,则N=3×7×19=399是方程(1)的解;若k≥4,方程(1)无解;

1 定理的证明

根据函数Ω(N)以及函数φ(N)的定义,显然N=1是方程(1)的解。以下将讨论N≥2的情况,此时N分为奇数与偶数情况。

情况1N为奇数

情况1.1 当k=1

情况1.2 当k=2

情况1.3 当k=3

情况1.4 当k=4

情况1.5 当k≥5

情况2N为偶数

情况2.1 当k=1

情况2.2 当k=2

情况2.3 当k=3

N=2m(2α1+13β1+1)(2α2+13β2+1)(22-α1-α23m+3-β1-β2+1) .

情况2.4 当k≥4

综合以上讨论,可得本文结论。

[1] 孙翠芳,程智.若干包含Euler函数φ(n)的方程[J].吉林大学学报:理学版,2012,50(5):859-862.DOI:10.13413/j.cnki.jdxblxb.2012.05.022.

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[5] 张文鹏.关于F.Smarandache函数的两个问题[J].西北大学学报:自然科学版,2008,38(2):173-176.DOI:10.16152/j.cnki.xdxbzr.2008.02.001.

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Solutions of an Equation Involving Euler Functionφ(n) and function Ω(n)

ZHANG Sibao

(School of Mathematics and Statistics,Kashgar University,Kashgar 844008,China)

For any positive integerN, letφ(N) be Euler function and let Ω(N) be the total number of prime factors ofN. The solvability of equationφ(N)=2Ω(N)3Ω(N)was discussed, and the solutions of it were obtained based on the integer factorization.

Euler function;factor function;solutions of equation

10.13451/j.cnki.shanxi.univ(nat.sci.).2017.02.004

2016-08-25；

2016-11-04

新疆维吾尔族自治区自然科学基金(No:2016D01A014)

张四保(1978-),江西峡江人,副教授,硕士,主要从事数论研究。E-mail:sibao98@sina.com

O156

A

0253-2395(2017)02-0225-04