三类p4阶群的连通4度Cayley图

2017-05-25孙莉敏张聪徐尚进

山西大学学报（自然科学版） 2017年2期

关键词：素数子群轨道

孙莉敏，张聪，徐尚进

(1.信阳学院数学与信息学院,信阳 464000;2.广西大学数学与信息科学学院,南宁 530004)

三类p4阶群的连通4度Cayley图

孙莉敏1，张聪1，徐尚进2

(1.信阳学院数学与信息学院,信阳 464000;2.广西大学数学与信息科学学院,南宁 530004)

称有限群G的Cayley图X=Cay(G,S)是正规的,如果G的右正则表示R(G)正规于图X=Cay(G,S)的全自同构群。主要采用群论方法, 证明了三类幂零类为3的p4(p是奇素数)阶群连通4度Cayley图都是正规的。

Cayley图; 正规Cayley图; 正规子群

本文涉及的图均为有限、连通、简单、无向图。对于图X,用V(X),E(X) 和Aut(X)分别表示其顶点集,边集和全自同构群。称图X是点传递图,如果Aut(X)作用在V(X)上是传递的。与图X的一个顶点u相连的顶点的全体称为u的领域,记作N(u). |N(u)|称为点u的度数。图X的每条无向边可产生一对方向相反的有向边, 称为X的弧,X的弧集记作Arc(X).显然Aut(X)可诱导弧集Arc(X)上的置换作用。如果这个作用是传递的,则称X是弧传递图。

设G是一个有限群,取S⊆G{1},满足S=S-1(这样的S称为G的Cayley子集)。则群G关于其Cayley子集S的Cayley图X:=Cay(G,S)定义为:

块图的一个有效的应用是Aut(X)非拟本原,即Aut(X)包含非传递且非平凡正规子群N,此时N的轨道即为非平凡块,从而得到以所有N-轨道为顶点的块图,通常记作XN.容易证明Val(XN)≤Val(X).

对于给定的群,一个基本问题是决定它的Cayley(有向)图的正规性。但大多情况下是很困难的,尽管如此,在这方面还是取得了丰富成果,比如,阶为不同奇素数乘积群上任意度数Cayley图是正规的(见文献[1])。方新贵等证明了绝大多数非交换单群的连通3度Cayley图是正规的(见文献[2-4])。文[15]表明,在同构意义下,所有A6的连通5度非弧传递Cayley图中只有22个非正规。文[16]研究了4m阶拟二面体群G=〈a,b|a2m=b2=1,ab=am+1〉的4度Cayley图的正规性,其中m=2r且r>2. 针对p-群连通4度Cayley图的正规性:Feng和Xu(见文献[5])得出,对于任一个pn(n≤p)阶群G,除p=5外,G的所有连通4度Cayley图都是正规的。在文献[6-8]中证明了交换群上的大多数连通小度Cayley图是正规的,且具有两个幂零类的p-群上所有连通4度Cayley图正规,这里p是奇素数。目前,对于p4(p是奇素数)阶群G,当G的幂零类(记作c(G))大于2时,其连通4度Cayley图的正规性还没有完全解决。

本文完整解决了三类幂零类为3的p4(p是奇素数)阶群连通4度Cayley图的正规性。以下给出本文所指的两类c(G)=3且秩为2的p4阶群(p是奇素数):

G1(p)=〈a,b,c|ap2=bp=1,cp=ap, [a,b]=ap, [a,c]=b, [b,c]=1〉;

G2(p)=〈a,b,c|ap2=bp=1,cp=ap, [a,b]=aλp, [a,c]=b, [b,c]=1〉 ,

其中λ模p非剩余。

G3(3)=〈a,b,c|a9=b3=c3=1, [a,b]=1, [a,c]=b, [b,c]=a-3〉 .

本文主要采用群论方法来研究图,凡文中未定义而引用的群与图的概念请参考文献[9]。

1 引理

第一个引理在Cayley图的研究中是一个很明显的结论。

引理1.1 设X=Cay(G,S)是有限群G的度数不超过4的连通Cayley图,A1是X的全自同构群A=Aut(X)关于G的单位元1的点稳定子群,则A1的阶不含大于3的素因子, 即|A1|=2i·3j.

关于“3素数单群”有:

引理1.2[11]设G是阶含3个素因子的有限非交换单群,则G及其阶只有如下8种情况:(1)A5,阶为22·3·5; (2)A5,阶为23·32·5; (3)PSL(2,7),阶为23·3·7; (4)PSL(2,8),阶为23·32·7; (5)PSL(2,17),阶为25·32·17; (6)PSL(3,3),阶为24·33·13; (7)PSU(3,3),阶为25·33·7;(8)PSU(4,2),阶为26·34·5.

下面两个引理对本文结论的证明是至关重要的。

引理1.3[10]设p是一个素数,G为一个有限p-群,X=Cay(G,S)是G的连通4度Cayley图,A=Aut(X),N是A的一个极小正规子群。如果|G|≠5,则N是初等交换p-群。

引理1.4[10]设X=Cay(G,S)是3-群G的连通4度Cayley图,A1是A=Aut(X)关于单位元1的点稳定子群,则A1是2-群。

下面是(有向)图X与群G的Cayley(有向)图同构的一个充要条件。

引理1.5[9]图X同构于群G的Cayley(有向)图当且仅当Aut(X)包含一个同构于G的正则子群。

由文献[7]中的定理1.2和文献[8]中的定理1.1, 我们有:

引理1.6 设p是一个奇素数,G是一个p-群且c(G)≤2,则G的连通4度Cayley图X非正规当且仅当X≅K5,G≅Z5.

引理1.7[12]p3(p是奇素数)阶非交换群上的连通4度Cayley图是正规的。

引理1.9[9]群G的Frattini子群恰由G的所有非生成元组成。

2 主要结果

引理2.1 设p是奇素数,则G1(p),G2(p)和G3(3)的连通4度Cayley图正规。

证明设G=〈a,b,c|ap2=bp=1,cp=ap, [a,b]=aλp, [a,c]=b, [b,c]=1〉,则

当λ≡1(modp)时G=G1(p); 当λ为p的二次非剩余时G=G2(p).

由群G的结构易得G′=〈ap〉×〈b〉,CG(G′)=〈b〉×〈c〉≅Zp×Zp2.

再设X=Cay(G,S)是G的连通4度Cayley图,Op(A)是A=Aut(X)中的最大正规p-子群。

由引理1.1,A1是{2,3}-群, 当p=3时, |A|=|A1||G|=2i3j(i,j是非负整数),A可解,Op(A)>1;当p≠3时, |A|=|A1||G|=2i3jp4(i,j是非负整数)。由引理1.2,A不是单群, 因而, 它至少存在一个非平凡正规子群, 取A的一个极小正规子群H, 则由引理1.3,H是初等交换p-群, 因而是A的一个正规p-群,所以此时亦有Op(A)>1. 另由引理1.4, 易得, 当p≥3时,R(G)∈Sylp(A), 则Op(A)≤R(G).所以1

往证Op(A)=R(G). 若Op(A)

(1)A中没有p阶正规子群。

否则, 取N为A的一个p阶正规子群, 则N

若Val(XN)=2. 则XN是一个长为p3的圈,此时A/K≤D2p3.由引理1.4,K∩R(G)=K1N∩R(G)=N,所以R(G)/N=R(G)/R(G)∩K≅R(G)K/K≤A/K≤D2p3,即R(G)/ND2p3,再由R(G)/N是p-群,可得R(G)/N循环,于是R(G)′≤N,但是R(G)非交换,故只能R(G)′=N,即有|R(G)′|=p.此与|G′|=p2矛盾。

若Val(XN)=4. 此时K作用在每一个块上正则, 也即K=N.这时显然R(G)/N作用在V(XN)上正则,由引理1.5,XN是群R(G)/N的一个Cayley图, 由引理1.6 以及引理1.7, 得XN正规,即R(G)/N◁A/N,从而R(G)◁A,与Op(A)

(2)A中没有p2阶正规子群。

否则, 仍设N为A的一个p2阶正规子群且XN是X关于N-轨道做成的块图,K为A作用在N-轨道上的核。由引理1.8, |V(XN)|=p2. 当然,Val(XN)=2或4.

若Val(XN)=2,则XN是一个长为p2的圈,类似(1),可得R(G)′≤N. 而|R(G)′|=p2,所以R(G)′=N.此时R(G)/R(G)′=R(G)/N是循环群,设R(G)/R(G)′=〈dR(G)′〉.但由R(G)为p-群,R(G)′≤Φ(R(G)),可得R(G)=〈d,R(G)′〉=〈d,Φ(R(G))〉.再由引理1.9,R(G)=〈d〉,此与R(G)非交换矛盾。

若Val(XN)=4, 类似(1)仍可得Op(A)=R(G), 矛盾于我们的假设。

所以假设不成立,Op(A)=R(G), 从而R(G)◁A,也即X正规。

对于G=G3(3),由其结构易知G′=〈a3〉×〈b〉,CG(G′)=〈a〉×〈b〉≅Z9×Z3.以下证明同上, 可得R(G)=O3(A)◁A,从而其连通4度Cayley图正规。

定理2.2 设|G|=pk,p是奇素数,且|G′|=pk-2,|CG(G′)|=pk-1,但CG(G′)则G的连通4度Cayley图X正规。

证明显然G′Z(G),G至少为p4阶非交换p-群。下面用归纳法证明之。当|G|=p4时, 由文献[14],满足条件的p4阶群即本文所研究的三类群, 由引理2.1, 结论成立; 假设|G|=ps(4

假设Op(A)是A=Aut(X)中的最大正规p-群。类似引理2.1, 1

所以Op(A)=R(G),X正规。

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Three Kinds of Connected Tetravalent Cayley Graphs of Orderp4

SUN Limin1，ZHANG Cong1，XU Shangjin2

(1.School of Mathematics and Information,Xinyang University,Xinyang 464000，China;2.School of Mathematics and Information Sciences, Guangxi University,Nanning 530004,China)

The Cayley graphCay(G,S) of finite groupGis normal, if the right regular representationR(G) ofGis normal in the full automorphism group of this Cayley graph.We mainly use the group theory, and prove three kinds of connected tetravalent Cayley graphsCay(G,S) of finite p-group with orderp4andc(G)=3 are all normal.

cayley graph;normal cayley graph;normal subgroup