谈数学中的类比推理

孟许亚��

摘 要：无论是中国古代的萧何，还是外国近代的奥恩布鲁格、施旺、沃森和克里克，都使用类比思维获得了成功。数学的發展，更离不开类比推理。学会使用类推的人，不仅会在考试中创造辉煌，而且在日后的公务员考试、研究生入学考试中屡屡受益。

关键词：类推；验证；行之有效；用武之地

中图分类号：G633.63 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）07-043-1

《中国古代智慧故事大全》记载的一则搞笑故事，能让我们初步了解类比推理的思维方式：秦末汉初，经过多年战事的百姓，常常吃了上顿没下顿，不少达官显贵却整日饮酒作乐。汉高祖刘邦认为酒不仅耗费粮食，而且消磨意志，甚至祸国殃民，便下了“禁塞嫁娶饮酒食肉”的禁令。这项禁令客观上取得了成效，但有少量贪图享受的大臣仍对禁令置之不理。刘邦一怒之下，出了更严的“私藏酒器，毁器斩人”禁令。宰相萧何的一位好友，遭人举报，被查出了一套祖传的造酒器材，数日后将人头落地。第二天，朝上刘邦见萧何愁眉苦脸，便开导道：“其罪当诛，何忧？”。“臣忧天下也。男丁皆有尘根，有犯奸之嫌，理当绝之。然，大汉何以为继？”萧何的回答使刘邦意识到自己因噎废食了。最终，那位好友自然幸免于难。

如果两类对象具有某些类似特征，凭借其中一类对象的某些已知特征，就推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（有时简言之为类推）。上述故事中，萧何就是借助如果“酒器能产酒，该毁。”，那么“男根或犯奸，该绝”，一个类推而成的诡辩，不仅婉谏了刘邦，而且巧救了好友。

运用这种类比推理取得成功的，科学史上比比皆是：由于父亲经常用手指敲击盛酒的木桶，根据声音推测桶内的酒的容量，奥地利医生奥恩布鲁格类推发明了叩诊法——通过叩击人体胸腔的方法判断其中有无积水或积水的多少；施莱登观察到细胞是组成植物体的基本单位，他由此而类推到动物体。接着，他广泛地对动物各种组织进行研究，发现动物体也是由细胞构成的，在此基础上，建立了细胞学说；空间结构呈螺旋型的蛋白质，引发了沃森和克里克对DNA结构的类推，通过DNA分子的X射线照片进行对照，证实了该推理的正确性……

数学发展史上，用类推构建数学体系的实例更是不胜枚举。如由“以C（a，b）为圆心，r为半径的圆的方程：（x-a）2+（y-b）2=r2”，得到“以点（a，b，c）为球心，r为半径的球体的方程应为（x-a）2+（y-b）2+（z-c）2=r2”；又如由“平行于同一直线的两直线平行”，类推到“平行于同一平面的两平面平行”；

不难看出，类比推理的步骤：（1）寻找合适的类比对象；（2）由一类对象的已知特征推测另一类对象也具备这些特征，得出一个猜想。

类推得到的猜想是否一直正确呢？我们先看一个类推：由平面几何中的“垂直于同一直线的两直线平行”，得到立体中的一个命题“垂直于同一平面的两平面平行”，从教室的墙角能一目了然地看出这是个假命题。也就是说，类推的猜想未必正确。如果想当然地认为类推的结论正确，就会在考后扼腕叹息。这样一道数学竞赛题“如果一个二面角的两个半平面垂直于另一个二面角的两个半平面互相，那么这两个二面角（ ）A.相等 B.垂直或相等 C.相等或互补 D.以上都不对”就曾让不少选手“大意失荆州”。解答此题，大多数考生用的是由“如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补”，进行类推，认为应选C。事实上，把可以随意开关的门与墙面看作第一个二面角，把与上述墙面垂直的另一墙面和地面看作第二个二面角，就发现正确答案是D。

可见，类推的结果是否正确必须需要验证。这一点在数学学习和研究中，务必记住。下面，笔者结合一道例题，来具体谈一下，数学学习中如何进行类推。

例题 类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.并证明你的结论。

【分析】 类比起点是：平面内直角三角形勾股定理，“斜边的平方等于两条直角边的平方和”。其条件是两线互相垂直，从平几到立体进行类推，由二维平面到三维空间，条件理所当然地变成三个两两垂直的平面；原结论是“斜边的平方等于两条直角边的平方和”，由线到面、两点的线长到三点构成的三角形的面积，新结论是“四面体斜面的面积的平方等于三个直角面的面积平方和”。

下面来证明这一结论：

已知：平面DEFDEP、平面DFP平面DEF，平面DEP平面DFP，设三角形DEF、DEP和DFP的面积依次为S1、S2、S3，三角形PEF的面积为S。

求证：S21+S22+S23=S2

证明：根据“如果两个相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面”可得直线DE、DF和DP两两垂直，由勾股定理易得

PE2=DE2+PD2，PF2=DF2+PD2，EF2=DE2+FD2，

在PEF中，由余弦定理，可得

cos2∠PEF=（EP2+EF2-PF2）24EF2·EP2=DE4（DP2+DE2）（DE2+DF2）

于是sin2∠PEF=（DE2DP2+DE2DF2+DP2DF2）2（DP2+DE2）（DE2+DF2）

所以S2=14EP2EF2sin2∠PEF=14（DE2DP2+DE2DF2+DP2DF2）

=（12DE·DF）2+（12DE·DP）2+（12DF·DP）2=S21+S22+S23

数学习题的解答中，类推是一种行之有效的解题方法。只有在平时不断地训练，才能切实提高自己的类推水平，才能在各类考试中创造佳绩。下列思维，使用类推，都有利于数学知识的掌握。