欧拉-泊松方程组的自相似解*

王玲，夏莉

(1. 广东水利电力职业技术学院数学部，广东 广州 510635； 2. 广东财经大学数学与统计学院，广东 广州 510320)

欧拉-泊松方程组的自相似解*

王玲1，夏莉2

(1. 广东水利电力职业技术学院数学部，广东 广州 510635； 2. 广东财经大学数学与统计学院，广东 广州 510320)

三维可压等熵欧拉泊松方程组描述可压等熵理想气态星体的运动规律，它由质量守恒方程、动量守恒方程及自引力位势满足的泊松方程构成。研究欧拉泊松方程组的自相似解是天体物理及数学领域研究的热点问题之一，具有重要的现实意义和广阔的应用前景。关于三维可压等熵欧拉泊松方程组自相似解的研究较少。用分离变量法研究了一类三维可压等熵欧拉泊松方程组的一组自相似解。

三维可压等熵；欧拉泊松方程组；自相似解

在天体物理学中，三维可压等熵欧拉-泊松方程组为如下形式：

(1)

和

Δφ=4πgp

(2)

其中x=(x1,x2,x3)∈R3;p=p(t,x)和,v=v(t,x)=(v1,v2,v3)∈R3,φ=φ(t,x) 分别代表流体的密度，运动速度和自引力位势，g是引力常数，为了计算简便，设g=1,k>0;γ≫1 是常数。

1 概 述

2 主要结论及其证明

定理1 三维可压等熵欧拉-泊松方程组，存在下面一组自相似解：

(3)

(4)

与式(4)对应的有

(5)

这里τ≠0,β,α≥0,a0,a1,b0,b1是任意常数

证明 文献[12]已证自相似解(3)满足质量守恒方程pt+▽·(pv)=0。下面证明自相似解(3)满足方程组(1)的第二个方程。

方程组(1)的第二个方程的第一个分量方程是

p{v1t+(v1v1x1+v2v1x2+v3v1x3)}+

(6)

将自相似解(3)代入式(6)，整理得

其中

(7)

且

f(0)=α≥0，G(t)=a2γ(t)bγ-1(t)

(8)

由方程(2)得

(9)

则可求得方程(8)的精确解是

(10)

方程组(1)的第二个方程的第二个分量方程是

p{v2t+(v1v2x1+v2v2x2+v3v2x3)}+

(11)

将自相似解(3)代入式(11)，整理得

其中

且

f(0)=α≥0，G(t)=a2γ(t)bγ-1(t)

(12)

则可求得方程(12)的精确解是

(13)

方程组(1)的第二个方程的第三个分量方程是：

p{v3t+(v1v3x1+v2v3x2+v3v3x3)}+

(14)

将自相似解(3)代入式(14)，整理得

其中

且

f(0)=α≥0G(t)=a2γ(t)bγ+1(t)

(15)

则可求得方程(15)的精确解是

(16)

这就证明了三维可压等熵欧拉泊松方程组有一组自相似解，定理1证毕。

[9] 郭志荣、易金桥、段文山，等. 一类高维非线性方程(组)自相似解的简易求法[J]. 西北师范大学学报(自然科学版), 2007, 43(2): 33-37. GUO Z R, YI J Q, DUAN W S, et al. A method for finding similarity solution of (2+1)-dimensional nonlinear partial differential equation(s) [J]. Journal of Northwest Normal University (Natural Science), 2007, 43(2): 33-37.

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Self-similar solutions for the compressible Euler-Poisson equations in three dimension

WANGLing1,XIALi2

(1. Department of Mathematics, Guangdong Technical College of Water Resources and Electric Engineering, Guangzhou 510635, China; 2. College of Mathematics and Statistics, Guangdong University of Finance and Economics, Guangzhou 510320, China)

The isentropic compressible Euler-Poisson equations, addressed to describe the motion of ideal gaseous stars, consist of the Euler-Poisson equations for the conservation of mass and momentum, and Poisson equation induced by the potential function of the self-gravitational force. Using the separation method, self-similar solution are presented for the isentropic compressible Euler-Poisson equations in three dimension.

isentropic compressible; Euler-Poisson equations; self-similar solutions; three dimension

2016-06-21 基金项目：国家自然科学基金 (11301345)；广东省自然科学基金 (2015A030313623)；广东省教育厅项目 (YQ2015077)

王玲(1966年生)，女；研究方向：数学教育、偏微分方程；E-mail: wanglin@gdsdxy.cn

10.13471/j.cnki.acta.snus.2017.01.012

O175.2

A

0529-6579(2017)01-0073-04