平面向量在高中数学中的应用探究

耿先亮

（广东省广州市番禺区象贤中学 广东 广州 510000）

【摘要】 传统高中数学教学内容较为单一，章节之间缺乏联系，学生学到的知识缺乏整体性，对高中数学缺乏全面系统的认知。新课改要求数学教学不仅需要提升学生的数学素养，更多的是让学生具有创新精神和实践能力，并能将数学知识化为己用，灵活运用所学知识，达到提高综合素养的目的。平面向量作为高中数学中的重要组成部分，与其他章节之间相互渗透，通过平面向量与其他章节的整合探究，分析平面向量在高中数学中的应用探究，并提出优化应用模式的意见和建议。让平面向量发挥出最大的作用，从而使高中数学教学获得最大化的学习效果。

【关键词】 平面向量 高中数学 应用

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1992-7711（2017）04-083-01

高中数学的各个章节都不是独立成型的，而是环环相扣的，彼此之间有丰富的联系。新课改背景下的高中数学教学目标，就是将知识点之间整合联系，培养学生综合运用数学知识的能力。平面向量知识是新课改后加入新教材的内容，为高中数学教师的教学带来了新的挑战。将平面向量运用到高中数学的不同章节中，能增强学生的思维能力，而且扩大了学生数学知识的容量，增加了学习内容的深度和宽度。因此，教师应当立足于新型的教学理念，结合平面向量的内涵恶化实质，利用平面向量建构新的数学教材知识体系，培养出学生应用向量解决问题的能力。

1.向量在三角函数中的应用

教材中对于“三角函数”的定义为：结合“相似三角形”的相关知识点，三角形中确定的角α，点P与α二者之间的比值（ 如果存在的话）不会随点 P在α终边上位置的改变而改变。教师在教学时，应该分析这个定义产生的复杂情况：当角α终边在第一象限时，学生能比较容易的理解。当终边在其它象限，利用“相似三角形”来教学就不利于学生理解，需要涉及到有向线段的数量，这时就需要借助共线向量来展开教学。向量的内积与两角和与差的三角函数的导入两角和与差的三角函数的导入，历来是教材编排的难点，对于教师教学来说更是难以攻克的难题，虽然高中数学教材更新时间快，对于这一问题有很多专家学者都进行了研究，但仍然没有找到较好的方法解决，因此，将平面向量引入“三角函数”的学习内容，能够让学生更容易理解，也为解决这一难题提供了较好的先决条件，最终产生了利用向量内积导入两角差的余弦公式。

2.向量在解方程中的应用

向量知识对于高中数学中的很多章节而言，都具有積极意义，教师应当重视学生利用向量解决数学问题的能力，引导学生提高自身的综合能力。教师可以在教学中打破按章节教学的传统教学模式，利用向量将各个章节结合起来，向量能起到工具作用，促进学生自我学习能力的提升。向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，是高中数学章节之间的过渡知识，已经成为高中数学教学的媒介内容。例如，已知2x+3y+z=13和4x2+9y2+z2+15y+3z=82两个公式都成立，求实数x、y、z的值。传统教学模式中会采用方程解析的解题方式，对于学生来说解题过程有一定的难度，如果利用向量知识解答，能够简化解题步骤，也更便于学生的理解和掌握。首先可以将2x+3y+z=13和4x2+9y2+z2+15y+3z=82相加，通过配方可以得出（2x）2+（3y+3）2+（z+2）2=108；这个方程式能够运用向量知识解析，通过设向量P（2x，3y+3，z+2），Q（1，1，1），通过计算，得出当2x=3y+3=z+2>0，这两个公式才能成立，依据这些条件，最终得出方程的答案。向量能够解答很多变形过程复杂的方程题，提高学生的解体效率，并进一步锻炼学生运用多种技巧解答问题的能力。

3.向量在不等式证明中的应用

部分不等式证明如果不进行变形处理，解答会遇到困难。如果教师按照传统解题方式让学生解答，会耗费学生大量时间，让学生非常困惑。如果引入向量知识，不等式的变形会更易于处理，能简化解题步骤，更容易得出结论。某些含有乘积之和或者乘方之和的不等式较难解决，也可以根据向量数量积的坐标表达式的结构特征构造向量证明。例如，当m，n都不为0，且符合（a2+b2）（m2+n2）=（am+bn）2，如何证明a/m=b/n？教师可以引导学生细心观察，让学生发现这个等式括号内的部分与向量模和数量积相同，利用平面向量知识，设P为（a，b），Q为（m，n），根据平面向量的特点，得出P与Q之间是平行关系，最终能变换成为a/m=b/n，将抽象的等式转换为具象向量，最终得出结果。由此可以证明，向量能够将抽象性的问题转换为直观的具象模型，从而让学生更容易理解题干内容，从而提高解决问题的效率。向量在高中数学中应用范围较为广泛，实用性和很强。

4.向量在平面几何中的应用

向量的大小和方向可以表现出线段和点的位置和长度关系，因此，利用向量知识解决平面几何的问题，比用几何知识解答要更加高效和便捷，也更利于学生理解。例如，已知三角形ABC的三点坐标为A（-3，1）、B（2，0）、C（0，-2），求AB、BC、CA三个线段的中点E、F、G，求相关直线EF、FG、GE的方程。利用传统解答办法很难解答，利用向量知识，设E（1，-1）、F（-1.5，-0.5）、G（-0.5，0.5），再利用向量解直线方程即可。需要注意的是，在求解的过程中要将点、线段之间的关系整理清楚，以免产生错误，影响最终答案。通过举例能够看出，将向量作为解答平面几何问题的工具，能够将其模式化，并让学生在思考研究中总结出向量知识的规律，从而更加方便的解决不少实际问题。总而言之，让学生熟练使用向量知识解决问题，能培养学生的思维能力和应用能力，对学生掌握高中数学知识点、培养综合数学能力具有重要意义。

[ 参 考 文 献 ]

[1]求解高考几何题的向量方法.高中数学教与学，2012（5）.

[2]高中数学课程改革中的向量背景与前景分析.数学通报，2012（5）.

[3]例谈向量与解析几何的交汇.数学通讯，2013（3）.