具有阶段结构的周期SEIR传染病模型的动力学性态

杜燕飞, 肖 鹏, 曹 慧

(陕西科技大学 数学系, 陕西 西安 710021)

具有阶段结构的周期SEIR传染病模型的动力学性态

杜燕飞, 肖 鹏, 曹 慧

(陕西科技大学 数学系, 陕西 西安 710021)

假设总人口分为幼年和成年2个阶段,且只有成年个体染病,建立一类具有阶段结构的周期SEIR传染病模型,得到无病周期解全局稳定性的条件;进一步讨论模型的一致持续生存,并用数值模拟验证所得到的结论.

周期传染病模型； 阶段结构； 基本再生数； 稳定性

近年来,通过传染病模型研究传染病动力学受到广泛关注.在传染病的研究过程中,人们发现很多疾病只在某个特定的年龄阶段传播,如麻疹、水痘等传染病多发于幼年阶段,而性病、伤寒、血吸虫病、白喉等传染病多传播于成年阶段[1-4].另一方面,人类的活动会受到季节和气候影响,导致很多疾病的传染和爆发也随季节显示出周期性波动[5-9].因此,在刻画传染病模型时,考虑具有阶段结构的并且具有周期系数的模型能更好地描述这类疾病的传播特点,更具有现实意义.本文将建立一类具有阶段结构的周期SEIR传染病模型,并研究其动力学性态.

假设总人口分为幼年、成年2个阶段,且只有成年个体感染此病,构建系统(1).

(1)

其中,用X(t)表示t时刻幼年个体的数量,并将成年个体分为4类:易感者S(t)、潜伏者E(t)、染病者I(t)和恢复者R(t).Λ(t)是人口增长率函数,ω(t)为幼年个体到成年个体的转化率,μ0(t)、μ(t)分别为幼年、成年的自然死亡率,ε(t)和α(t)分别表示潜伏者的发病率和染病者的治愈率,采用非线性发生率β(t)S2(t)I(t),并假设所有的参数函数均为正的ω周期函数.

1 预备知识

首先考虑系统(1)的无病周期解的存在性.考察方程

将系统(1)中所有方程相加得

其中

引理 1 系统(1)具有初始条件X(0)>0,S(0)>0,E(0)>0,I(0)>0,R(0)>0的解(X(t),S(t),E(t),I(t),R(t))在[0,+∞)上存在且为有界的正解.

由于模型(1)中的前4个方程中不含R(t),且关于R(t)的方程是线性的,因此只须考虑前4个方程构成的模型,即如下系统(3)的动力学性态.

下面利用文献[10]中积分算子谱半径的方法来定义系统(3)的基本再生数.首先验证文献[10]中的条件(A1)～(A7)成立.记x=(E,I,X,S)T,

(4)

容易看出系统(3)等价于如下系统

显然ρ(ΦM(ω))<1,即无病周期解x*(t)=(0,0,X*(t),S*(t))为线性渐近稳定的,于是,文献[10]中的条件(A6)成立.令

记Y(t,s)是如下系统的一个2×2的矩阵解

其中I是2×2的单位矩阵.显然文献[10]中的条件(A7)也成立.

(5)

定义系统(3)的基本再生数为R0=ρ(L),其中ρ表示算子L的谱半径.

2 主要结果

下面研究系统(3)的全局动力学性态,结果表明基本再生数R0=1是区分疾病一致持续或消除的一个阀值.

定理 1 若R0<1,则无病周期解(X*(t),S*(t),0,0)是全局渐近稳定的；若R0>1，它是不稳定的.

现在考虑如下辅助系统

(6)

(7)

定理 2 如果R0>1,则存在ε>0,使得系统(3)具有初值(X(0),S(0),E(0),I(0))=(X0,S0,E0,I0)∈{(X,S,E,I)∈X:E>0,I>0}的任意解(X(t),S(t),E(t),I(t))满足

容易证明

(8)

由于R0>1当且仅当ρ(ΦF-V(ω))>1,可选取充分小的η>0,使ρ(ΦF-V+ηM(ω))>1.并考虑系统(3)的扰动系统

下面证明Ws(M1)∩X0=Ø.由解对初值的连续依赖性,存在α*>0,使得当‖(X0,S0,E0,I0)-M1‖≤α*时,有

断言

否则,存在某个(X0,S0,E0,I0)∈X0,使得

不失一般性,假设对任意的m≥0,有

则由解对初值的连续性知,对t∈[0,ω],有

进一步计算可得

由不等式(10)可推出0≤E(t)≤α,0≤I(t)≤α,t≥0.于是

则∀t≥T1有:

因为ρ(ΦF-V-ηM(ω))>1,由文献[11]中的引理2.1和标准比较定理可得:

这与0≤E(t)≤α,0≤I(t)≤α矛盾.于是

因为在M∂的每一条轨道都收敛于M1,且M1在M∂中是非循环的.由一致持续的非循环定理知,P关于(X0,∂X0)是一致持续的.又由于M1在X中是孤立的;因此,由文献[12]中的定理3.1.1知,系统(3)关于(X0,∂X0)是一致持续的.

3 比较

下面讨论在周期SEIR模型中引入阶段结构对基本再生数的影响.考虑系统(3)当接触率β(t)=β[1+bcos(2πt)]为周期函数,其他参数为正常数的情形.

利用文献[7]中的近似估计方法,系统(11)的基本再生数

如果忽略阶段结构,不分幼年和成年2个阶段,那么系统(3)可化为

此时系统的基本再生数

比较系统(11)和(12)的基本再生数,可以得出结论:当研究成人病的传染病模型时,如果忽略阶段结构,将会高估基本再生数;从而高估传染病的传播风险.

4 数值模拟

下面，利用数值模拟来验证所得的结论．对于模型(3),令参数Λ=0.09,ω=0.01,β(t)=2.1[1+0.6cos(2πt)],σ=0.18,μ=μ0=0.07,ε=0.5,α=0.24,则基本再生数R0=0.758<1.在图1中,模拟了系统(3)具有初始条件X0=0.2,S0=0.2,E0=0.2,I0=0.2的解的渐近性态,表明无病周期解是全局渐近稳定的,传染病将最终消除.

下面取Λ=0.5,其他参数同图1,则基本再生数R0=2.937>1,图2的模拟结果说明了系统的一致持续生存.

5 讨论

本文将总人口分为幼年和成年2个阶段,且假设只有成年个体染病,建立并研究了一类具有阶段结构的周期SEIR传染病模型,得到了模型无病周期解的稳定性和系统持久性的结论,并通过数值模拟验证了结论的正确性.证明了基本再生数是传染病最终消除和一致持久生存的阀值条件,若R0<1,无病周期解是全局渐近稳定的,即疾病将最终消除；若R0>1,疾病一致持续生存.

本文所研究的模型与文献[8-9]中所讨论的不具有阶段结构的周期传染病模型相比,动力学性态大致相同.可以得出结论,在周期SEIR模型中引入阶段结构在某种程度上不会改变系统的动力学性态;但另一方面,通过比较具有周期传染率的传染病模型与相应的引入阶段结构的模型发现,研究成人病时如果忽略阶段结构,将会高估基本再生数,从而高估传染病的传播风险.

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2010 MSC:37N25

(编辑 余 毅)

Dynamic Behavior of a Periodic SEIR Epidemic Model with Stage-structure

DU Yanfei, XIAO Peng, CAO Hui

(DepartmentofMathematics,ShaanxiUniversityofScienceandTechnology,Xi’an710021,Shaanxi)

In this paper, we divide a population into two stages: immature stage and mature stage, and assume that disease transmission occurs only in mature individuals. Then we establish a periodc SEIR epidemic model with stage structure. We establish the global dynamics for disease-free periodic solution and discuss the uniform persistence of the system. Finally, the numerical simulations indicate the theoretical result is correct.

periodic epidemic model; stage-structured; the basic reproduction number; stability

2016-03-03

国家自然科学基金(11301314)和陕西省自然科学基金(2014JQ1025)

杜燕飞(1984—),女,讲师,主要从事微分方程与生物数学的研究,E-mail:duyanfei@sust.edu.cn

O175

A

1001-8395(2017)01-0073-05

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.01.012