需要 兴趣 时间 对话
——以《找规律》教学例谈“四招”助学生建模
2017-05-15宁启平
文/宁启平
需要 兴趣 时间 对话
——以《找规律》教学例谈“四招”助学生建模
文/宁启平
数学课堂教学中,我们该怎样发挥教师的主导地位,帮助学生积极主动地体会和理解数学与外部世界的联系呢?第一,需要,体验建模的必要;第二,兴趣,维系建模的欲望;第三,时间,保障建模的形成;第四,对话,支持有效建模。
数学建模是对实际问题本质属性进行抽象而又简洁刻画的数学符号、数学式子、程序或图形,它或能解释某些客观现象,或能预测未来的发展规律,或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。它的灵魂是数学的运用,它就像阵阵微风,不断地将数学的种子吹撒在时间和空间的每一个角落,从而让数学之花处处绽放。那么课堂教学中,我们该怎样发挥教师的主导地位,帮助学生积极主动地“体会和理解数学与外部世界的联系”呢?
1 需要,体验建模的必要
2011年版《义务教育数学课程标准》指出:“课程内容要反映社会的需要”。是的,如果问题的情境是学生们生活中所熟知的,那么学生就会产生一种强烈的我需要了解这个知识的欲望。当学生的头脑激活了已有的生活经验,并使用积累的经验来解决数学问题时,发现不是件容易的事情,数学模型的建立变成了问题解决的必要条件。所以在《找规律》一课,我呈现了如下主题图进行教学。
(图1)
老师提出:“记得吧,国庆节时,学校像上图一样,在大门口摆放了很多盆花?”同学们“记得!”的声音悦耳动听,老师接着问:“那按照从左到右的顺序排列,第10盆花是什么颜色?”一个学生答道:“蓝花,红花;蓝花,红花;蓝花,红花;蓝花,红花;蓝花,红花。第十盆是红花。”老师再问:“第100盆呢?”下面有了议论:“再这样数,太麻烦了吧?”学生们自我否定了较为低级的思维品质,(当然,这也是一种思维,尤其是在数量较少的情况下,反能体现这种思维的优越性。)一会儿,又一个学生举起了手:“我发现蓝花是单数盆,红花是双数盆,100是双数,所以第100盆是红花。”学生的建模有了雏形,套用单数、双数的解题策略,无论是第几盆花,都可判断盆花的颜色。
紧接着,老师出示图2:
(图2)
“这个情形大家也熟悉吧?那请同学们应答:从左往右数,第100只灯笼是什么颜色?”显然,刚刚塑造的模型已经无法适用,现实的情境“引诱”着学生不得不思考更为普遍性的模型。
2 兴趣,维系建模的欲望
三十多年的从教经验告诉自己:数学教育教学的第一哲学命题是趣味,即对于小学生而言,趣味性是第一位的,所以,数学建模活动也可以籍学生感兴趣的事物去维系学生建模的欲望。怎样的知识学生感兴趣呢?按心理学家的研究发现,有两种:一种是好玩的知识,一种是有一定挑战性的知识。
以此为出发点,在《找规律》的教学中,学生作答下题时,如下图:
当学生说自己11岁,属龙,23岁、35岁……的人与自己属相相同后,我提出问题:“假如2012年出生的人属鼠,那么2100年出生的人属什么?”通过前文主题图的学习,学生们已经找出了周期问题的模型:“规律总数÷一个周期的量数=几个周期余几”,且“余数‘几’,就和这个周期中的‘几’相同”。依据解题模型,学生列出(2100-2012+1)÷12=7……5,可观察出周期的第5个生肖属龙后,我又出示一个问题:“事实上2012年出生的人属龙,那么2100年出生的人属什么?”针对前一个比较好玩的问题,后一个问题带有了一定的挑战性。
因为虽然解题的模型是一样的,但是对照模型,尽管除数的量都是12,即12生肖周期循环,可周期的顺序发生了变化,第一个问题中的周期顺序是“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪。”第二个问题中的周期顺序是“龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪、鼠、牛、虎、兔。”在学生还用同样的模型结构解题后,显然出现了矛盾,有了矛盾就有了争论,也正是知识挑战,带来了学生继续去构建完整模型的动力。经过一番常识错误到再出发,学生们兴奋地交流着发现:“虽然算式还是原来的算式,答案也是原来的答案,余数5对应的却不再是龙,而是猴。”周期问题的解题模型至此才算臻于完美。
3 时间,保障建模的形成
“教育应当使所提供的东西让学生作为一种宝贵的礼物来领受,而不是作为一种艰苦的任务要他去负担。”这是爱因斯坦的告诫。可是,为了一味追求所谓的教学有效性,现在的课堂流行快节奏,老师一张PPT接着一张PPT地展示,同时辅以大题量的练习,美名曰高密度。这样的课堂,学生只有紧张,只有惶恐,可谓苦不堪言。教育不是流水线,不能以单位时间里做题量的多寡来定性有效;教育必须是慢的艺术,如古人云:“慢工出细活。”
例如上文《找规律》的习题教学,正是因为我给了学生足够的时间去辨别“假如2012年出生的人属鼠,那么2100年出生的人属什么?”和“事实上2012年出生的人属龙,那么2100年出生的人属什么?”的同与不同,学生才能水到渠成地发现周期数量相同但是周期顺序不同,而顺序决定了余数的用处。也正是充裕时间的保障,学生才能又机会辨析自己模型是否健全,是否符合普遍性原理;当模型需要修正的时候,也只有充裕的时间,才能保障学生自己去再度探索,否则,只能走回老师强行灌输的老路。
4 对话,支持有效建模
2011年版《义务教育数学课程标准》阐述了这样的观点——“建立和求解模型的过程包括:从现实生活或具体情境中抽象出数学问题,用数学符号建立数学问题中数量关系和变化规律,求出结果并讨论结果的意义。”但是,学生求索模型的过程必定是曲折的,模型的构建也必定是从残缺到完善,所以老师需要不断地与学生以对话支持。
回到《找规律》主题图2的教学:
老师提问:“从左往右数,第100只灯笼是什么颜色?”
一学生:“单数可以是红灯笼,也可以是紫灯笼,这种方法不适合,但我可以知道红、紫、黄三种颜色的灯笼可以圈出成一组,并且一组一组地依次出现。”
这赢得了不少学生的赞成,我依势佯问:“如果第100只灯笼出现在第10组的第2,那是什么颜色?”
学生们欣喜若狂:“明白了,只要看第100灯笼出现在哪一组,排第几就好了。”学生们列出算式:100÷3=33……1,我追问:“借你们的话,第100灯笼出现在哪一组,排第几?”
学生自信满满地答道:“第34组,第1只,也就是红灯笼。”
我不依不饶:“从左往右数,第200只灯笼是什么颜色?”
学生们愈发得意了:“200÷3=66……2,第200只灯笼是第67组的第2只,也就是紫灯笼。”
“都是老师在提问,难道你们就没有什么问题?”我装出一脸的无奈。学生们笑了,一个抢着问:“从左往右数,第90只灯笼是什么颜色?”另一个抢着答:“90÷3=30,从左往右数,第90只灯笼出现在第30组的……”停顿了一下,“第30组的最后一个。”
又一个学生提出:“那我来问吧,你们根据余数发现了什么?”模型结构的重点就这样由学生提了出来。
……
恩格斯曾说过:“由一种形式转化为另一种形式不是无聊的游戏,而是数学的杠杆,如果没有它,就不能走很远。”这句话道出了数学模型思想的核心,启迪着我们数学教师,帮助学生找寻到建模的支点,用数学模型的杠杆,享受数学知识带来的无穷魅力。
(作者单位:怀宁县独秀小学)