基于主导变量选取的点估计随机潮流方法

肖远兵, 程浩忠, 梅红兴

(1.国网上海市电力公司 青浦供电公司,上海 201700; 2.上海交通大学 电力传输与功率变换控制教育部重点实验室,上海 200240; 3.国网湖南省电力公司 长沙供电分公司,湖南 长沙 410015)

基于主导变量选取的点估计随机潮流方法

肖远兵1, 程浩忠2, 梅红兴3

(1.国网上海市电力公司 青浦供电公司,上海 201700; 2.上海交通大学 电力传输与功率变换控制教育部重点实验室,上海 200240; 3.国网湖南省电力公司 长沙供电分公司,湖南 长沙 410015)

随着系统规模扩大,随机潮流的快速求解成为其推广应用的前提,文章提出一种基于主导变量选取的点估计随机潮流方法和基于主导输入变量选取的降维方法,并在此基础上利用多项式正态变换法和矩阵奇异值分解生成具有相关性的输入变量点估计样本,从而将问题转化为若干次确定型潮流计算。对IEEE 118节点系统的仿真验证了该方法的有效性,计算结果表明，该方法可在误差容许范围内大大提高点估计法的计算速度,奇异值分解的使用让该方法可以灵活地处理相关系数矩阵非正定的情况,因而具有较好的工程应用价值。

主导变量;随机潮流;点估计;多项式正态变换

实际电网中总是存在各种随机因素,随着可再生能源渗透率的进一步提高,系统节点注入功率的随机性进一步提高,随机潮流计及各随机输入变量,可综合分析系统状态变量的运行风险,是保障电力系统安全稳定运行的有力工具[1-2]。

随机潮流概念首先由Borkowska于1974年提出,经过数十年发展,根据使用范围不同分化为两类不同的发展方向:

(1) 以模拟法[3-9]为代表的随机潮流方法,这类方法研究中心主要集中在如何提高算法的精度,主要方法包括简单随机抽样、拉丁超立方方法[3-8]、数字网格法[9]。3种方法中数字网格法精度最高[4],但在系统规模增大时仍面临网格生成困难的问题。虽然模拟法精度较高,但受限于计算效率,目前基于模拟法的随机潮流方法均难以实用化。

(2) 随机潮流方法以半不变量法[10-11]、近似法[12]为代表,这类方法目标主要集中在容许误差内尽可能提高算法效率。半不变量是首次采用的一种随机潮流方法；其首先将潮流方程进行线性化,然后利用得到的输入输出变量之间的线性关系将复杂的卷积运算化为半不变量的代数运行,极大地提高了随机潮流的效率；但由于线性化关系只能在运行点附件近似成立,半不变量法会带来较大的理论误差。文献[13]在此基础上提出分段线性化半不变量法,提高了半不变量法的精度。近似法是近年来兴起的一种随机潮流方法,主要代表为点估计法[12],近似法不改变潮流方程的结果,计算过程包括若干次确定型潮流计算,使用方便、效率高,因而越来越受到工程技术人员重视。

为进一步提高点估计法的计算效率,本文提出一种基于主导变量选取的点估计法,选择对输出结果影响大的变量进行点估计计算,从而大大缩小了计算的规模,提高了随机潮流的计算效率,在IEEE 118节点系统的仿真计算中证明了本文方法的有效性,结果表明主导变量占总变量数比例随着系统扩大而缩小,证明本文方法同样适用于大系统的分析中。与蒙特卡洛方法结果的比较证明了本文方法可在误差容许范围内进一步提高点估计的计算效率。

1 基于奇异值分解的多项式正态变换方法

电网实际运行中,变量分布大多难以获得。多项式正态变换(polynomial normal transformation,PNT)是一种利用标准正态分布重构非正态随机变量分布的数学方法[14]。该方法仅需输入变量的若干阶矩信息即可获得其近似概率分布特性,文献[8]指出,三阶PNT(third-order PNT,TPNT)已有足够的精度。对于任意m维随机向量X=[x1,…,xi,…,xm]T,TPNT表达式如下:

(1)

其中,Xs=[xs1,…,xsi,…,xsm]T为X的标准化随机向量;μX和σX分别为随机向量X的期望值向量与标准差向量;Cn=[cn1,…,cni,…,cnm]T(i=1,2,…,m;n=0,1,2,3)为多项式的系数向量;Y为标准正态向量。已知X的期望值向量、标准差向量、三阶中心矩向量和四阶中心矩向量分别为：

μX=[μx1,…,μxi,…,μxm]T，

σX=[σx1,…,σxi,…,σxm]T,

M3X=[M3x1,…,M3xi,…,M3xm]T,

M4X=[M4x1,…,M4xi,…,M4xm]T。

则Xs的各阶矩如下:

(2)

其中,i=1,2,…,m。

多项式系数Cn(n=0,1,2,3)的具体计算公式如下：

(3)

(4)

其中,i=1,2,…,m。若随机向量X各元素之间相互独立,则由(1)～(4)式可重构得到X的分布。若X具有相关性,则在与标准正态向量Y进行相互转换时应考虑相关系数的变化。设变量X相关系数矩阵为ρX=[ρxij]m×m,其与变量Y的相关系数矩阵ρY=[ρyij]m×m满足下式:

(c1i+3c3i)(c1j+3c3j)ρyij+

[(c0i+c2i)(c0j+c2j)-

ρxijσxsiσxsj-μxsiμxsj]=0

(5)

求解(5)式,选择满足|ρyij|≤1且ρxijρyij≥0的解作为ρyij的值。

目前有多种排序方法可以得到相关系数矩阵等于ρY,其中Cholesky分解运算简单,因而使用广泛,但其要求ρY必须是正定矩阵,而实际中并不总能保证这一点。一般来说,ρY为对称阵非负定矩阵,其奇异值分解一定存在,且奇异值均非负。当ρY为对称正定时,奇异值分解退化为Cholesky分解。因此,本文采用奇异值分解进行排序以得到含相关性的样本序列。设ρY有如下分解:

(6)

其中,UCSi为酉矩阵;ΛCSi为ρY奇异值构成的对角阵,本文设其排列方式为降序排列。

X=μX+σX[C0+C1GYD+

C2(GYD)2+C3(GYD)3]

(7)

其中,D=[d1,d2,…,dm]T为独立的标准正态向量。

2 基于主导输入变量选取的点估计法

根据上文中求得的风速模型和负荷模型,系统节点注入功率x可表示为:

(8)

其中,x维度为Nb=NN×NH;xij(i=1,…,NN;j=1,…,NH)为节点i在时刻j的注入功率。同样可定义有功节点注入功率向量p=Rex,无功节点注入功率向量q=Imx。在进行点估计计算之前,需要获得若干样本以便对其数字特征进行分析。本文以节点注入功率向量作为研究对象,无功注入功率的推导类似。设NR个节点有功注入功率样本组成的NV×NR维样本矩阵为:

P=[p1,…,pi,…,pNR]

(9)

根据(9)式,其均值矩阵如下:

μP=[μ1,…,μj,…,μNV]T

(10)

则x的归一化向量为:

Pm=P-μP·1

(11)

其中,1为NR维行向量。其协方差矩阵为:

(12)

点估计法要求样本独立,因此首先需要利用CP的奇异值分解将pi化作独立的向量。设CP的奇异值分解为:

(13)

可得独立的样本矩阵Ym为:

(14)

n点估计对于每一个样本点均需进行n次采样,因此最终必须进行(n-1)NV+1次确定型优化运算,而当问题的时间段较多时,点估计法可能会陷入“维数灾”,必须对优化问题降维,才能提高点估计的计算效率。根据矩阵理论知识,较大的矩阵奇异值对应的输入变量对点估计的输出结果影响更大。利用这一结论,本文对对角阵ΛCP进行归一化,可以得到:

ω=[ω1,…,ωi,…,ωNV]

(15)

(16)

(17)

ξj,3=0，k=3

(18)

(19)

由此可得点估计的样本为:

(20)

(21)

对于含网络开断的情况,可参考文献[11]转化为虚拟注入节点功率的形式等效计算。

3 算例分析

3.1 算例介绍

本文以Matpower 4.1中IEEE 118节点系统为基础,增加风力发电机机组,该机组的出力和分区以及台数等信息见表1所列。

表1 IEEE 118节点系统中风电场装机配置

假设风速满足威布尔分布W(c,k)=W(10.7,3.97),风电场功率因素为0.9,区域内风电机出力的互相关系数矩阵如下:

(22)

(23)

(24)

区域外风电机出力互相关系数为0。负荷均为恒功率因数0.9,有功负荷服从期望为额定有功功率,标准差分别取期望为3%、4%、5%的正态分布,互相关系数均为0.5,分别设为场景A、B、C。有功出力与风速关系满足:

(25)

其中,PWR为风电场额定功率;vci、vr、vco分别为切入风速、额定风速、切出风速,大小分别为2.5、13、25 m/s。

3.2 计算误差定义

为比较本文方法的误差,本文以蒙特卡洛计算50 000次的结果作为标准,定义估计误差为:

(26)

3.3 结果分析

表2 3种负荷场景下PEMD计算误差 %

表3 3种负荷场景下CPEM计算误差 %

对比表2、表3中数据可得如下结论:

(1) 负荷场景对计算误差及计算时间影响均不大;表中A、B、C场景下,PEMD和CPEM的计算误差及计算时间差距不大。

(2) PEMD方法误差略大于CPEM,但仍在可容许的范围内,计算效率有较大提升,计算时间缩小为CPEM的1/5。

为分析本文方法提升点估计法的原因,统计IEEE 118节点系统中主导变量和状态变量数分别为21和113,恰好为1/5的关系,这说明本文方法可以通过缩减点估计样本的规模,提高点估计法的计算效率,且计及了主导变量使得结果误差仍在可接受范围内。

以上分析表明,主导变量选取阈值ω是算法的关键,为研究ω对算法误差的影响,场景A下不同ω时PEMD误差如图1所示。从表2、表3中可得,变量标准差的误差明显大于期望值的误差,因此，点估计法的精度主要由变量标准差的误差决定,所以图1中仅列出各变量标准差的误差变化曲线。

从图1中可得,PEMD误差随着ω的减小而减小,减小趋势由快变慢,通过选择曲线平坦区的ω可以得到兼顾计算效率与精度的ω值。

图1 场景A状态变量误差曲线

4 结 论

为提高点估计随机潮流方法的计算效率,本文提出一种基于主导变量选取的改进点估计随机潮流方法,在IEEE 118节点系统中证明了本文方法的有效性,得到如下结论:

(1) 随机潮流计算中变量标准差的误差均大于对应变量期望值的误差,因此随机潮流的精度主要由变量标准差决定。

(2) 相比于传统的点估计法,本文所提方法可在误差容许范围内极大地提高随机潮流的计算效率。

(3) 通过选择误差曲线的平台区,可以选择较好的ω以兼顾随机潮流的计算效率与计算精度。

[1] 李道强,韩放.美国电力市场中的金融交易模式[J].电网技术,2008,32(10):16-21.

[2] ACKERMANN T.Wind power in power systems[M].New Jersey:John Wiley & Sons,Ltd,2005:393-395.

[3] 丁明,王京景,李生虎.基于扩展拉丁超立方的采样的电力系统概率潮流计算[J].中国电机工程学报,2013,33(4):163-170.

[4] SINGHEE A,RUTENBAR R A.Why Quasi-Monte carlo is better than monte carlo or latin hypercube sampling for statistical circuit analysis [J].IEEE Transactions on Computer-Aided Design of Integrated Circuits and Systems,2010,29(11):1763-1776.

[5] 李怡宁,吴浩,辛焕海,等.基于广义多项式混沌法的电力系统随机潮流[J].电力系统自动化,2015,39(7):14-20.

[6] 吴巍,汪可友,韩蓓,等.基于Pair Copula的随机潮流三点估计法[J].电工技术学报,2015,30(9):121-128.

[7] FANG S D,CHENG H Z,XU G D,et al.A probabilistic load flow method based on modified Nataf transformation and quasi Mote Carlo simulation[C]//Power and Energy Engineering Conference.[S.l.]:IEEE,2015:1-5.

[8] 蔡德福,石东源,陈金富.基于多项式正态变换和拉丁超立方采样的概率潮流计算方法[J].中国电机工程学报,2013,33(13):92-101.

[9] 方斯顿,程浩忠,徐国栋,等.基于非参数核密度估计的扩展蒙特卡洛随机潮流方法[J].电力系统自动化,2015,39(7):21-27.

[10] ZHANG P,LEE S T.Probalistic load flow computation using the method of combined Cumlants and Gram-Charlier expansion [J].IEEE Transactions on Power Systems,2004,19(1):676-682.

[11] HU Zechun,WANG Xifan.A probabilistic load flow method considering branch outages [J].IEEE Trans on Power Systems,2006,21(2):507-514.

[12] 潘炜,刘文颖,杨以涵.概率最优潮流的点估计法[J].中国电机工程学报,2008,28(16):28-33.

[13] 朱星阳,刘文霞,张建华,等.计及系统调频作用的随机潮流模型与算法[J].中国电机工程学报,2014,34(1):168-178.

[14] FLEISHMAN A I.A method for simulating non-normal distributions [J].Psychometrika,1978,43(4):521-532.

(责任编辑 张 镅)

Probabilistic load flow method based on point estimation and selection of dominated variables

XIAO Yuanbing1, CHENG Haozhong2, MEI Hongxing3

(1.Qingpu Power Supply Company, State Grid Shanghai Electric Power Company, Shanghai 201700, China; 2.Key Laboratory of Control of Power Transmission and Conversion of Ministry of Education, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China; 3.Changsha Power Supply Company, State Grid Hunan Electric Power Company, Changsha 410015, China)

As the system scale increases, the computational efficiency limits the application of probabilistic load flow(PLF). Therefore, a dominated variables based point estimation method is proposed. A dimension reduction method is also depicted. Based on which, the point estimation samples are transformed into arbitrary correlated distribution by polynomial normal transformation(PNT) and singular value decomposition. Then the calculation of PLF is transformed into several deterministic power flow calculation. The results of the simulation on IEEE 118 bus system demonstrate the validity of the proposed method. It is shown that the proposed method can enhance the computational efficiency of point estimation evidently within the allowable error range. And the utilization of singular value decomposition can easily handle the non-positive definite correlation matrix, which has good application value.

dominated variable; probabilistic load flow(PLF); point estimation; polynomial normal transformation(PNT)

2015-07-17；

2016-01-13

国家自然科学基金国际合作交流资助项目(51261130473);国家高技术研究发展计划(863计划)资助项目(2014AA051901)

肖远兵(1991-),男,江西赣州人,国网上海市电力公司助理工程师; 程浩忠(1962-),男，浙江东阳人，博士，上海交通大学教授，博士生导师.

10.3969/j.issn.1003-5060.2017.04.012

TM731

A

1003-5060(2017)04-0492-05