基于有理插值公式的GM(1，1)模型的背景值构造新方法与应用

韩然

(中国传媒大学 理学院，北京 100024)

基于有理插值公式的GM(1，1)模型的背景值构造新方法与应用

韩然

(中国传媒大学 理学院，北京 100024)

分析了GM(1，1)模型中的背景值，提出了用有理插值和数值积分中的梯形公式及外推法重构背景值，可以有效地提高模型的预测精度和适用性，并将其方法应用于我国人均发电量预测建模中，理论分析和应用实例表明了文章所提方法的有效性。

灰色系统；背景值；重构；GM(1，1)模型；有理插值

1 前言

灰色系统理论具有所需样本数据少，不需要计算统计特征量等优点。因此，自1982年提出以来得到了研究人员的重视，已经在许多领域，特别是在显著不确定性和缺乏数据信息的领域得到了成功应用。利用GM(1，1)模型进行预测虽然有许多成功的实例，但同时也存在一些预测误差过大的情况，反映了GM(1，1)模型的实用性有待提高。因此，对GM(1，1)模型进行深入地研究，找出影响GM(1，1)模型精度及其适应性，具有非常重要的理论价值和实际意义。文献[1]用实验的方法分析了GM(1，1)模型误差特性，文献[2]提出GM(1，1)模型中的背景值构造方法影响其精度和适应性的关键因素，并给出了一个重构公式。文献[3给出了基于多项式的Netwon插值重构，本文作者提出了基于古老的连分式理论的有理插值，仿真例子表明本文所提出方法的有效性。

2 GM(1，1)动态预测模型的建模机理

一次累加GM(1，1)模型是最常用的一种灰色动态预测模型，该模型由一个单变量的一阶微分方程构成。其建模过程如下：

设原始非负数据序列为：

X(0)={x(0)(1)，…，x(0)(n)}，

(1)

其中x(0)(i)>0，i=1，…，n。

对原始数据作一次累加，

X(1)={x(1)(1)，…，x(1)(n)}，

(2)

由一阶生成模块X(1)建立模型GM(1，1)，对应的白化微分方程为：

(3)

其中a和b为待辩识常数。

待辩识常数的最小二乘解为：

(4)

为背景值。

方程(3)的离散解为：

(5)

还原到原始数据为：

从公式(4)可看出拟合和预测精度取决于常数a和b，而a和b的求解则依赖于背景值z(1)(k+1)，背景值z(1)(k+1)的值成为直接影响GM(1，1)模型精度和适应性的关键因素。

3 GM(1，1)模型背景值的改进

考虑上述背景值的求法实际上就是数值积分中的梯形公式，而梯形法的误差较大，精度较低，为此我们提出用基于连分式理论的有理插值与广义梯形公式来重构背景值。

定义1[4]设{an}，{bn}为两个实数列，称形如：

(6)

的分式为连分式(continuedfractions)，记作

而式

(7)

称为连分式(6)的n次渐近连分式。其运算法则按一般分式运算。见文献[4]。

定义2下述形式的连分式：

调查还发现，影响学生对专业态度的因素依次为个人兴趣爱好、就业出路和事业前途。在一二年级主要是受“个人兴趣爱好”的影响，面临毕业时，“就业出路”成为影响学生对专业态度的主要因素。

(8)

为Thiele型连分式。

定义3[4]设X={x0，x1，…，xn，…}是实平面上一点集，f(x)是定义在G⊃X上的函数，令

φ[xi]=f(xi)，i=0，1，2，…，

称由上述公式确定的φ[x0，x1，…，xl]为函数f(x)在点x0，x1，…，xl处的l阶逆差商。

定理1[4]设

(9)

其中φ[x0，x1，…，xk]≠0，∞，k=0，1，…，n为f(x)在x0，x1，…，xk处的k阶逆差商，则有

Rn(xi)=f(xi)，i=0，1，…，n

即函数Rn(x)为函数f(x)在点x0，x1，…，xn处的有理插值函数。

3.2 基于广义梯形公式的背景值改进法步骤如下：

1)取(2)中的一次累加序列：

X(1)={x(1)(1)，…，x(1)(n)}，

2)取y(k)=k，k=1，2，…，n，m=4(或m=8)，

4)构造背景值

当m=4时

当m=8时

或组合公式

4 应用实例

例1：本文以我国人均能源消耗量的预测为例，比较本文与文献[3]模型的模拟预测精度，数据来源《中国统计年鉴》。其中以1998-2004年的数据建模，预测2005，2006，2007年的数据。结果如表1。按本文方法，建立我国人均能源消耗量灰色预测模型为如(10)式，文献[3]模型如(11)式所示：

(10)

(11)

表1 我国人均能源消耗量预测比较

续表

例2：

本文以我国航空客运量预测为例，比较本文与文献[3]的模型模拟预测精度，数据来源《中国统计年鉴》。其中以2000-2004年的数据建模，预测2005，2006，2007年的数据。结果如表2。按本文建立我国航空客运量灰色预测模型如(12)式，文献[3]模型如(13)所示：

(12)

(13)

表2 我国航空客运量预测

5 小结

从上面的模拟和预测可以看出，所建立的模型模拟和预测精度是很高的，具有一定的实际应用价值。应该指出，在应用中应重视数据的整理处理的方法、分析和筛选。在解决实际问题时可以用不同方法得到不同的模型，从中选择与现实问题拟合较好的模型，以便提高模型的拟合精度，得到较好的预测模型。

[1]黄巍松，吉培荣，胡翔勇.灰色GM(1，1)模型误差特性的实验研究[J].武汉水利电力学报，2000，1(22)：69-72.

[2]谭冠军.灰色GM(1，1)模型的背景值构造方法和应用[J].系统工程理论与实践，2000，20(4)：98-103.

[3]李俊峰，戴文战.基于插值和Netwon-cores公式的GM(1，1)模型的背景值构造新方法和应用[J].系统工程理论与实践，2004，24(10)：122-126.

[4]檀结庆.连分式理论及其应用[M].北京：科学出版社，2007.

(责任编辑：宋金宝)

A New Approach of Background Value-Building and Its Application Based on the Data Rational Interpolation

HAN Ran

(Science School，Communication University of China，Beijing 100024，China)

In this paper，the author analyses that the building approach method of background value in Grey model GM(1，1)is important and that rationally constructing background value can improve precision and adaptability of the grey model.The method of background value reconstructing in grey model GM(1，1)based on the data rational interpolation and the extrapolation formula of numerical integral is pointed out.Simulation examples show the effectiveness of the proposed approach.

grey system；background value；reconstruction；GM(1，1)model

2016-07-05

韩然(1976-)，男(汉族)，山东潍坊人，中国传媒大学理学院讲师，E-mail：hanran@cuc.edu.cn.

O

A

1673-4793(2017)02-0022-06