高中数学教学视野中问题与思维的关系探究

侯军

[摘 要] 高中数学教学中关注问题，要从其促进学生思维发展的角度进行. 问题与思维的关系，需要在这种研究的过程中才能凸显出来，从而为教师实现更好的教学服务. 有效地切入研究，可以从教师在教学设计中预设的问题以及学生提出的问题两个角度来进行.

[关键词] 高中数学；问题；思维

问题，历来是数学教学研究中的一个热点话题，因为有效的问题能够打开学生的思维，可以让学生迅速地进入高效学习的状态. 相信这样的判断每一个数学教师都能够接受.但可以肯定的是，只建立这样的认识，并不能让我们的课堂变得高效，因为这样的因果关系界定，还只是一种基于表面的描述，也就是说尽管我们知道有效的问题可以实现高效的教学，但并不知道问题是如何撬动学生的思维的，因而这也就是一个知其然不知其所以然的关系. 这样的认知显然对于教学来说，只具有经验的积累作用，不具有用理论推进实践的作用. 反之，如果能够理清问题与思维之间的关系，那就可以让教师在设计问题、提出问题的时候多一些智慧的成分，从而让师生之间能够基于问题进行更好的对话. 由于有了这样的认识，笔者对高中数学教学中问题与思维的关系进行了探究，也取得了一些新的认识. 在此借助本文，与同行们分享，并请同行专家们提出宝贵的批评意见.

[?] 教师的问题设计，要考虑思维因素

实际的数学课堂上，问题可以说是频频出现的. 这其中既有教师预设的问题，也有课堂上临时产生的问题，通常情况下，预设的问题往往都是关系到课堂结构或者是知识结构的问题，对于课堂来说具有提纲挈领的作用.而对于一些相对较小的问题，往往都是为了让课堂的过渡更为顺利而提出的. 这些问题中，真正从思维角度去研究的，其实并不多见（当然，客观上对学生的思维也会有促进作用）. 笔者的观点是，问题的提出，还是要考虑其中的思维因素的.

我们可以来看一个教学案例：在“对数函数及其性质”的教学中，有教师为了吸引学生的注意力，借助于马王堆千年女尸不腐之谜，创设了一个二百多字的图文并茂的情境（用幻灯片向学生呈现），并就其中的辛追为什么保存了两千多年这个细节而提出问题：科学家是怎么知道辛追已经距今两千多年的？在教师明确了这个问题与数学有关之后，该教师又引导学生从碳14的残留量与时间之间存在的对数关系，让学生认识本课要学习的主题. 这样的案例当中，教师所创设的情境可谓是新颖的，而对数函数的关系也是明确的，但效果如何呢？相信有一定教学经验的教师一定可以意识到这个情境以及所提出的问题，其实对于学生的思维来说并不具有明显的促进作用，甚至于对于不少学生而言，这个作用可能还是负面的. 具体分析如下：

其一，情境所用的素材，不利于学生将注意力集中到问题本身. 纵观这一教学环节，可以发现教师在题材的选择上是花了时间的，问题在于这个题材本身对于学生来说就是极为新奇的. 而这又意味着什么呢？意味着学生在接触到这个题材的时候，学生的注意力会集中在素材本身上，反而忽视了其中的那个“与数学有关的问题”，因此激发学生思维的前提本身就是不成立的. 事实上，利用碳14的残留量来给出对数函数的关系，其实也是有问题的，因为对于高中的学生而言，他们在数学学习中的逻辑思维是很重要的，而很多学生恰恰是因為在对碳14衰变规律不理解的情况下，对教师所提出的问题给予了有意无意的忽视，因为学生的注意力还集中到素材本身呢.

其二，问题本身亦不具有促进思维的作用. 再分析教师提出的问题本身：科学家是怎么知道辛追已经距今两千多年的？（包括教师所提醒的“这个问题与数学有关”）问题是否与数学有关，应当让学生自己去体验，而这本身就是开发学生思维的有效途径. 但这个问题并不具有这样的功效，因为对于年代的判断途径是多样的，学生不可能想到其与对数函数有关. 而这原本应当是问题设计时最应当考虑的问题，即情境呈现之后提出的问题如何更好地与研究的问题相关.

基于以上的分析，笔者在教学中没有过于重视素材本身的选择，而只是让学生做了一个简单的体验活动，就是将一张练习本上的纸进行数次对半撕. 学生很显然可以体会其中由1变成2，由2变成4，由4变成8等这样的过程，对于这个过程，提出的问题也很简单：如果给你一个对半撕的数值，你能否求出撕了多少次？

这个问题与学生体验的过程密切相关，即使是体验，学生的注意力也不会过多地集中在体验本身，因为撕纸毕竟是日常生活中的常见行为. 也因为满足了这一条件，学生的注意力可以更好地集中在问题本身. 而提出的问题中，对于已知与未知的关系并未给出，但数学要素即变量与函数却是齐全的，因而学生的思维可以迅速集中到其中的对应关系上，而这不正是对数函数教学所追求的吗？因此，笔者以为这样的问题设计是基于学生思维同时又是能够开发学生思维的，是真正的以问题策动学生思维的过程.

[?] 学生提出的问题，要研究思维脉络

在数学教学中，还常常会面临着学生所提出的问题. 通常情况下，教师对于学生提出的问题往往是直接予以回答，对于其中的一些简单的问题，教师的态度则常常是一种批判的态度：怎么还会问出这样简单的问题？即使在课程改革强调了尊重学生之后，教师所表现出来的“理性态度”，实际上也不能掩盖对学生问题的一种失望或者是批评. 笔者以为，这种基于直觉而对学生的问题所作出的判断，往往是经验性的，且不是从学生思维角度出发的. 要知道，在高中数学课堂上，学生所提出的问题其实都是很宝贵的，都是有研究价值的. 而研究的角度，自然就是学生思维的逻辑规律，说得通俗一点，就是学生为什么会问出这样的问题.

在“椭圆”这一知识的教学中，笔者曾经遇到了学生提出这样的问题：椭圆的定义是从“两个固定点”与“距离”两个角度进行的，为什么它要这么定义呢？这确实是一个约定俗成的问题，笔者第一反应是告诉学生：这是数学发展过程中优化选择的结果，其很简单且又能体现椭圆的特征，因此特别适合作为高中阶段学习椭圆的定义. 但事后感觉这样的解释实际上过于苍白，然后笔者就思考学生怎么会如此提问. 在与学生进行了交流之后，笔者才知道了学生的所思所想，也才发现其中竟然包含着一个宝贵的教学契机.

原来，学生在学习椭圆的过程中带着一点突发奇想的意思：椭圆定义是以“两固定点”为参照的，如果把这个条件改一下，会不会得到其他曲线呢？当时学生想到的变化有将两固定点改为“一个固定点与一条直线”以及“两条直线”. 但是他们怕这样直接问出问题，会引发教师的批评，因此才以上一个问题作为铺垫. 但笔者当时并不知道学生的这一思考过程，因而给予的回答根本就解决不了学生的疑问. 在了解了学生的这一思路之后，笔者立即意识到这一问题具有很大的价值：第一，学生将对椭圆的定义的理解进行拓展；第二，这样的拓展意味着学生认识到了对于不同的曲线的定义，是可以从点、线、面的角度来考虑的；第三，基于学生的问题，可以引导全班学生参与讨论，以发现其对所学过的数学知识的包容作用，与对后面需要新学的知识的启发作用.

果然，当笔者将这一问题呈现给全班学生时，学生非常感兴趣. 其实，学生产生兴趣几乎是必然的，因为从学习心理的角度来看，这两个学生提出的问题实际上是一种变式思想的体现，其最容易打破学生的认知平衡，因而自然就会激发学生的兴趣. 而在回答这一问题的过程中，学生的思维受开放性问题的刺激，显得十分活跃，这客观上证明了学生的思维也得到了培养. 而反观这一段过程，其实就是因为笔者注意到了学生的思维脉络且及时地把握住了.

[?] 有效的问题互动，促进思维的碰撞

从提出问题者的角度来看，有学生、教师之分，而从问题的回答来看，其实并没有截然的师生差距. 尤其是在高中数学课堂上，问题可以让师生、生生之间有效地互动，从而实现思维的碰撞.

仔细地分析数学课堂上的每一个问题，尤其是能够让学生更好地构建数学知识的问题，可以发现其中的思维含量是十分充足的. 这种思维含量主要体现在学生构建知识的过程中，不需要教师太多的讲解，甚至还有学生自觉拒绝教师的灌输，因为他们大脑中构建出来的数学概念，已经能够很好地概括数学本质. 而教师的作用，往往更多地体现在学生最迫切需要的地方，如难点的突破，数学语言的最终组织等. 像这样的教学过程，应当说就是有效教学的充分体现.

总之，高中数学教学从问题开始，研究其与思维的关系以及如何以问题促进学生的思维，是促进学生数学智慧发展，生成有效课堂的关键，需要数学同行们在实践过程中不断地尝试、创新.