重视“问题解决”，提高学生数学核心素养

杨昆华

[摘 要] “问题解决”是继“现代化”和“回归基础”之后国际数学教育界的又一潮流，我国数学教育改革明确提出：数学教育的内核实质就是数学核心素养，而数学建模能力、问题解决能力又是数学素养的核心之一，高考对“应用意识”的考查将进一步反映对数学建模、问题解决能力的考查. 本文就如何开展“问题解决”教学，积极而有效地引导学生置身于数学活动之中，通过“做数学”来体验数学，学会用数学方式去思考、探索，进而解决问题.

[关键词] 问题解决；数学核心素养；创新能力；数学体验活动

“问题”（Problem）有别于我们经常做的“习题”（Exercise），习题的目的在于巩固和练习（Exercise），内容是常规的，学生易于模仿，存在着解决这些习题的一般规则和原理，而“问题”应具有非常规、重视情景应用、探究性等特征，在数学课程中没有用来确定解决这类问题的准确程序的一般规则和原理.“问题解决”（Problem Solving）是继“现代化”和“回归基础”之后国际数学教育界的又一潮流，1980年，美国数学教师协会公布的《关于行动的议程》纲领性文件，提出了“问题解决必须成为80年代学校数学的焦点，数学教学应围绕问题解决来组织”，以后各国纷纷响应，这种强调生动活泼，注重数学应用的教育思想，至今依然是数学教育的中心课题.

近年来，我国数学教育改革以“数学素质教育”为口号，以“问题解决”为突破口，出现了诸如“北京方正杯”中学数学知识应用竞赛，江苏省南京市一中的数学建模教学等活动，全国各地对“问题解决”的认识和研究进一步加强. 高中《新大纲》明确提出：数学教育的内核实质就是数学素质，而数学建模能力、问题解决能力又是数学素养的核心之一. 自1993年来，高考已明确体现对“应用题”的考查，且在今后很长时间内将进一步加强、完善对建模、问题解决能力的考查，可见其在数学教学中的重要地位，以下谈谈笔者在“问题解决”教学的一些尝试，以期达到抛砖引玉的作用.

[?] 利用“问题”的“非常规”性，激发学生的学习兴趣和认知内驱力

认知心理学认为，学生进入中学后，更为关注的不是趣味性的问题（或故事），而是那些“认知不协调”，即同常识、直观不一致，与固有观念有冲突，令人吃惊的结果，因此，非规范“问题”成为激活学生认知内驱力的恰当教材.

如：1. 一段平直的铁轨AB，长为2千米，点C为AB的中点，其两端固定，夏季因受热而伸长2米，形状变弯了，假设各段受热膨胀均匀，那么，其中点C将距地面高度是多少？

若教师提出问题，让学生凭直观猜测，认为最多上升1-2米，然而错了，实际计算的结果让人大吃一惊，C点距地面将近45米，何等不合常规！此时，学生绝不会轻易放弃自己的思考，不会“心悦诚服”接受老师的结果，这正是极佳的学习动机，由此可促进学生的主动性、积极性及智力参与的强化，这恰好是开展圆及三角形的相关计算教学的最佳时机，其效果将大为提高.

2. 两根电线杆相距l米，分别在高为10米的A处和15米的C处用钢索将两杆固定（图2），问：（1）钢索AD与钢索BC的交点M处离地面高度MH与l有关吗？（2）MH的高为多少？

当教师提出问（1），学生凭直觉认为有关，然而又错了.

因为△BMH∽△BCD，△BMH∽△DAB，

所以=，=.

所以BH=l①，DH=l②，

①+②得：BH+DH=

+

MH·l，

而BH+DH=l，所以MH==6（米），与l无关！

结论与常规不符合，说明原有的认知结构不完全适合理解或解决问题，学生的习惯反应和处理模式遭到失败，此时，最能激发学生的求知欲.

[?] 遵循认识规律，由浅入深，层层推进

人对事物的认识由感知到感性，由感性认识到理性认识，逐级深化，不断提高.长期以来，我们强调对数学基础知识的理解和掌握，这是我国数学教育的长处，但对知识的实际應用强调不够，从而形成学生对数学情景的理解、感悟差. 因此，开始时尽量搞些简单的、花时少、趣味性、实用性强的内容，增加学生兴趣，扩大知识面，开阔视野.

如：1. 要在楼梯上铺地毯，似乎需先测出楼梯的长度，其实，只需量出楼梯的高和宽即可.

如图3，地毯长=1+2=3（m），

这是一个涉及知识点不多，但所用思考方法相当丰富，层层提高，对能力培养很有价值的问题.

略解：（1）设应设于X点，则总距离为A1A5+A2A4+A3X，当 X=0，即设于A3，总距离最小.

（2）同理，6个机器人时，设在 A3与 A4之间任一处均可.

（3）由（1）（2）得到启示，当n为奇数时，供应点设在A处，当n为偶数，A与A+1之间任一点均可.

[?] 暴露思维过程，打破思维定式，促进正迁移

数学思维是人脑和数学对象交互作用并按一般思维规律认识数学规律的思维过程，是尝试—失败—再尝试—再失败……，直至成功的心理活动. A·斯托利亚尔指出：充分暴露数学思维过程是教学的原则，数学教学要求教师创造性地将知识发生、发展等思维过程“复现”出来.这样，才真正符合人的认识规律，才能恰当掌握“最近发展区”利用已有认知结构，实现知识的正迁移.

如：1. 正方体的截面的形状是什么？

问题没有明确形状有几种，只要提出这个问题，几乎所有学生都可以想到“三角形”（如图5）；此时停一下，教师不给予肯定，不提示，大多数学生又想到“四边形”（如图6）；这时，提示，想一想，有没有五边形，对于五边形就只有极少数能想到（如图7），再进一步呢？能不能得到六边形，这个提问对于真正理解五边形的学生是很及时而恰当的. 学生类比前面结果，经过自我思考，可以解决，如图8.

解决这个问题需要有直觉的空间想象能力及思维的深刻性、严谨性及构造思想，体现了解决问题、完善解答的思维过程.

2. 高一（3）班有学生60人，现要创建一个班级图书室，要求每人至少捐一本书，各人所捐书数不相同，问要捐1830本书能否做到？

分析：应该如何把问题与所学知识联系起来？各人至少一本，各不相同，我们不妨尝第1人捐1本，第2人捐2本……，这时，由等差数列求和公式S60==1830（本），能够做到！这个问题为何用等差数列？怎样得到？此时，暴露思维：因为各不相同，按1、2、3、4……这种形式数目最小，因此去尝试是什么情况，从而解决问题.

如果把问题改为：捐1800本（或1900本等）又是什么结果呢？怎样思考？其实问题还是建立在上述问题的基础上，大于1830本都可以，把多的本数放在第60人上（还有其他办法），小于1830本不能做到，原因是出现重复.

学生在学习等差数列后，处于应用等差数列知识的“最近发展区”，此时，教师给予适当的点拨，就能顺利实现知识的“正迁移”，打破固有的思维定式.

[?] 结合教材，强化应用意识，层层渗透，把“问题解决”落到实处

高中《新教材“大纲”》指出：分析和解决带有实际意义的或在相關学科、生产和日常生活中的数学问题，会使用数学语言表达问题，进行分析，形成用数学的意识.根据大纲及我国改革对社会经济发展需要，结合教材，就利息（单利、复利）、人口增长、生态平衡、环保、风险决策、成本核算、金融投资、供求关系等进行信息处理，抽象、归纳使之数学化，从而利用数学知识解决实际问题，问题的选择力求做到适时、恰当.

如：1. 《人民日报》1992年7月12日至7月15日数据：1982年7月11日世界人口达到50亿，联合国将7月11日定为“世界人口日”，1992年的“世界人口日”全球人口达到54.8亿.

问：（1）世界人口每年平均增加多少？

（2）人口增长率是多少？

（3）预测1993年7月11日世界人数.

（4）预测2000年7月11日世界人数.

这是一个增长率问题，与我们的生活息息相关，问题很具现实意义和教育意义，在掌握指数、对数知识后即可及时提出、解决（解略）.

2. 百货公司的一页账簿上沾了墨，如图表1，关于1月13日出售热水壶只知道单价及金额后面的三个数码是7.28，数量与金额前面的三个数码都看不清，请你帮助查清这笔账.这是生活中实际存在的问题，实用性强，实际情景客观、具体. 如何使之数学化呢？

“略解”：设数量为x，金额前三位数为y，则：

49.36x=10y+7.28，

所以y=5x-1+.

令t=，则x==4-31t+.

令t1=∈N，代入得y=617t1-134，x=4-31t+t1=125t1-27.

因为100<617t1-134<1000，

所以

所以x=98，y=483.

所以水壶为98只，金额为4837.28元

这是一个不定方程的整数解讨论及不等式的整数问题，解决需较强的分析能力和熟练的数学变形技巧，可在高三复习时引用解决. 再如上文所述问题，均可根据知识、能力情况适时引入，真正达到基础与能力并重的教学目的.

“问题解决”是一种创造性工作，需要有敢于打破常规，另辟蹊径的开拓创新精神，需要有灵活敏捷的思维方法，要透过现象，抓住本质，这正是学习数学的重要目的之一. 数学教学实质上是数学活动的教学，积极而有效地引导学生置身于数学活动之中，通过“做数学”来体验数学，学会用数学方式去思考、探索、解决问题，必将提高学生的创造性思维能力，必将提高学生分析实际问题、解决实际问题的新型应用能力，必将提高学生的数学素养，促进数学素质教育的进一步发展.