赏析高考题，导航教与学

胡浩

[摘 要] 从试题的立意、背景、解法、错解、价值等方面，对2016年安徽省文科考生眼中的难题——全国Ⅰ卷文科第20题进行研究，为教与学导航.

[关键词] 文科；全国Ⅰ卷；第20题；立意；背景；解法；错解；价值

2016年高考全国Ⅰ卷文科数学第20题如下：

在直角坐标系xOy中，直线l：y=t（t≠0）交y轴于点M，交抛物线C：y2=2px（p>0）于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H.

（1）求；

（2）除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由.

此题是解答题的第4题，试卷的压轴题之一，满分12分. 高考是一场选拔性考试，命题者的意图就是想通过压轴题拉开考生的成绩，凸显试卷的区分度，方便划线录取. 所以在安徽省近16万名文科考生中，有98437人本题得0分，这其实是在意料之中的. 在预想之外的，一是该题平均分是1.26分，难度系数是0.105，都创安徽省文科解析几何主观题的最低；二是试题的设问形式与方式，与往年的高考题、复习中的模拟题对接不上. 往年的解析几何题第（1）问通常是求圆锥曲线的标准方程，第（2）问则是由直线与曲线的位置关系解决有关范围、最值、对称、存在性等问题. 问题情境的变化导致考生临场的心态波动，多数考生举手无措，这从笔者对近十所省、市示范高中文科考生的調查中得到证实. 因而，有必要对这道“意料之中，却又在预想之外”的高考题进行研究.

[?] 试题的立意研究

试题题型新颖，但方法仍是常规的！能真正考查学生的解析能力，考查解析几何的本质——用代数方法解决几何问题.考查的基础知识有：点的坐标、直线方程的求法、直线与曲线的位置关系等；考查的思想方法有：方程思想、转化与化归的方法；较强的计算变形能力是正确解题的关键.

试题特色鲜明，清新亮丽：①选材——主干知识，点、直线、抛物线交汇自然贴切；②表述——题目精干、清新，犹如“小桥流水”，语言亲切平和，简洁明了，没有一个字是多余的；③设问——分步设问，设问精炼，梯度分明.

第（1）问就打破“求圆锥曲线标准方程”的常规，不偏不怪，创新色彩浓厚，突出解析几何的研究对象是平面几何的本质特征；第（2）问实质上还是探究直线与抛物线的位置关系——是否相切，但设问的形式“妖艳”，意在考查学生“灵活转换”的能力. 试题稳中有变，变化中呈现创新.

[?] 试题的背景研究

高考题根植于课本，孕育于教材.“题在书外，根在书内”，课本是高考命题专家的最爱.链接教材：

1. 信息技术应用：用几何画板画图，如图1，点F是定点，l是不经过点F的定直线，H是l上任意一点，过点H作HM⊥l，线段FH的垂直平分线m交HM于点M. 拖动点H，观察点M的轨迹. 你能发现点M满足的几何条件吗？（人教A版数学选修1-1第56页）.

2. 设抛物线的顶点为O，经过焦点垂直于轴的直线和抛物线交于两点B，C，经过抛物线上一点P垂直于轴的直线和轴交于点Q，求证：线段PQ是BC和OQ的比例中项. （人教A版数学选修1-1第68页复习参考题A组第6题）.

3.已知抛物线C：x2=2py（p>0），其焦点到准线的距离为.

（1）试求抛物线C的方程；

（2）设抛物线C上一点P的横坐标为t（t>0），过P的直线交C于另一点Q，交x轴于点M，过点Q作PQ的垂线交C于另一点N，若MN是C的切线，求t的最小值. （安徽省教科院编，2016年安徽省数学学科调研性试题）

“稳定中力求创新”一直是高考全国卷的命题原则之一. 毋庸置疑，课本例题、习题是最强的稳定器；创新是指在历史继承下的良性发展，是继承中求变，在变化中出彩.因而，课本是研究高考的重要窗口.

[?] 试题的解法研究

解法一：对于第（1）问，求出点M，P的坐标，再由对称性得到点N的坐标，联立方程组，求出点H的坐标，即得；对于第（2）问，先求出直线MH的方程，再联立方程组，判断直线MH与抛物线C的位置关系.

（1）易知M（0，t），联立方程组y=t，

y2=2px，得P

，t

. 又P为MN的中点，由中点坐标公式得N

，t

，所以直线ON的方程为y=x. 与y2=2px联立，解得H

，2t

， 所以点N是线段OH的中点，故=2.

（2）由（1）求得直线MH的方程是y-t=x ，与y2=2px联立消去x，整理得y2-4ty+4t2=0. 因为Δ=（-4t）2-4×4t2=0，所以直线MH与抛物线C有唯一公共点，即除H以外，直线MH与C没有其他公共点.

点评：本解法充分体现了坐标法的思想，凸显解析几何的解析味道，是学生必须要掌握的基本方法.

解法二：（1）同解法一.

（2）如图2，作HH1垂直于准线x=-，垂足为H1，交y轴于点Q. 由（1）知△H1QM≌△FOM，所以∠H1MQ=∠FMO，F1，F，M三点共线. 由HF=HH1，FM=H1M，可得MH是线段H1F的垂直平分线.

设直线MH上除H以外与C还有一个公共点K，作准线的垂线KK1，垂足为K1，连接KH1，KF. 因为K是H1F垂直平分线上的点，所以KH1=KF，又K是抛物线y2=2px上的点，所以KK1=KF，因而KH1=KK1. 这与△KK1H1为直角三角形相矛盾，所以除H以外直线MH与抛物线C没有其他公共点，即直线MH为抛物线的切线.

点评：解法二紧扣抛物线的定义及平面几何的相关知识，回归解析几何的本质，凸显了解析几何的几何味道. 又提供了过抛物线外一点作其切线的尺规画图法.

[?] 试题的错解剖析

从考后的调查和高考阅卷情况来看，考生不能入题或思维受阻半途而废的主要原因为：

（1）高考题与模拟题的模式对接不上，导致考生心理极度紧张，不能入题，被迫放弃得0分.

（2）计算（变形）能力不强，解方程组得出点的坐标是错误的. 由于参数t约不掉，不能出题，没有信心续做第（2）题，得第（1）题的步骤分.

（3）解出第（1）题，但面对“妖艳”的第（2）题，不会进行剖析与变通，只能拿到低分.

[?] 试题的价值研究

一道优美的数学高考题，不仅要展示数学本身的曼妙身姿，而且还要传达一种勇于探索、锲而不舍的数学精神，体现数学的核心思想方法.

（1）为数学的理性思维而教.教学的根本任务是教学生学习；复习的宗旨是巩固知识，强化思想方法，形成解决问题的技能或积累数学活动的经验.教学和复习不能只是“告知与示范”，也不能是“题型+技巧”的训练，模式化的教学会导致学生的思维僵化，解决问题的方法生硬，在面对不同模式问题或新问题时，不会变通、无从下手就成为必然.在教学过程中，培养学生的数学理性思维能力是核心. 教师的理念要新，视界要开阔，以传授知识方法为主线的同时，要渗透必要的数学理性，把学生的思维训练上升至理性精神层面，这对完善文科学生的综合素质有很大的帮助. 注重落实核心知识，体现研究思想方法，突出问题的本质探究，实现“数学育人”的价值——这应当是数学教育永恒的价值观追求.

（2）解析几何教学要抓住本质，回归本源.解析几何的本质是用代数方法研究几何问题，数形结合是其主要特征. 在灵活运用代数知识的同时，充分抓住问题的“几何本质”往往是解决问题的关键.长期以来，解析几何教学重模式化的代数运算，而忽视了隐藏于问题中的几何背景，使解题陷入“过程冗长，运算烦琐”的境地，导致学生“望而生畏，不战而退”.基于此，解析几何题的命制就要转变教学中重代数运算、轻几何本质的现象，通过紧扣定义、揭示问题的几何本质来优化运算，回归解析几何的本源——“解析”只是方法，“几何”才是本质.

（3）准确认识高考试题的导向作用.高考全国卷突出逻辑思维能力的考查，加强创新与应用意识的考查成为近年试题的特色.研究高考陈题，也是研究高考的一个窗口，但是我们不能迷信高考陈题，研究的目的是登高望远，把握命题的态势，结合教学对象的实际科学规划复习工作. 不仅要训练常规题型，而且还要设计新题型，让学生在不同的情境中掌握研究问题的一般方法：仔细审题，认真作图，在图形的形成过程中注意图形语言与代数形式的切换，恰当的地方用代数方法解析. 因此，对高考题要研究，但是又不能盲目跟风，更不能迷信. 研究高考题，应当抓住其中的主干知识與核心素养、不变的思想与方法、深邃的睿智与精神，以不变应万变.

（4）抛物线切线的尺规作图.由于H是直线MH与抛物线C的唯一公共点，因而直线MH是抛物线C的切线. 考题指出了切点H的画法，提供了过抛物线外一点作其切线的尺规画图法.

让我们为2016年高考全国Ⅰ卷文科第20题点赞！