简述非标准分析在其他学科中的应用

韩婵　张彦　马婷

摘 要：非标准分析法理论的研究直接或间接的影响着其他学科的发展。为了说明非标准分析方法的科学价值，首先简述了非标准分析产生的背景和发展现状；其次研究了非标准分析在图论、拓扑学、概率论、物理学、经济学中的若干应用。所得到结论为今后利用非标准分析的方法研究其他相关学科奠定了一定的基础。最后，希望非标准分析对其他学科产生更深远的影响。

关键词：非标准分析；图论；拓扑空间 ；概率论；物理学

中图分类号：G64 文献标识码：A 文章编号：1673-9132（2017）13-0013-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2017.13.005

一、 非标准分析概述

牛顿与 Leibnizi在创建微积分时，虚构了无穷小数及无穷大数。他们打破常规的想法，推动了数学的发展。 但是，那时对无穷小的解释相当含糊，因此一些数学家不信任无穷小量这种方法。许多学者认为：无穷小缺乏必要的理论基础。后来，柯西等终于寻找到“？着-？啄方法”，回避了无穷小，解决了微积分的内在的根本的矛盾，也显示了有限和无限的关系，但此方法仍有瑕疵，因为传统的阿基米德域R是容纳不了无穷小数，所以必须想办法将数学从阿基米德的性质中解放出来，数学才会有更长远的发展。经过学者们不断地探索，1960年罗宾逊发现：模型论中的一些成果和分析学中的无穷小数有着内在的联系，因此他将实数域扩张为超实数域，从而建立了一门新的学科——非标准分析，使300年来一直被大家争论的无穷小数问题得到了解决，进而为微积分奠定了一定的理论基础。我国学者李邦河院士运用非标准分析的方法建立了广义函数理论；冯汉桥教授利用非标准分析理论，对隐函数及内超实度量空间结构等进行了探索，他们所取得的成果对国际非标准分析的研究做出了突出的贡献。从整个非标准分析的产生过程可以看出，非标准分析实际上是微分学逐渐完善的产物。

二、 非标准分析的应用

随着非标准分析理论的完善，非标准分析在图论、概率论、物理学、 拓扑学等都有着广泛的应用。

（一）非标准分析在图论中的应用

图论的快速发展使得有限图备受大家关注，其研究成果也不断涌现。一般来说，标准图论只限于有限图，方法也多为有限群、有限组合等。但近年来，学者逐渐重视了对无限图的研究，这是由于无限图的若干理论对数学的分支学科有着极为广泛的应用，而将非标准分析用于图论的研究，为图论的发展提供了更好的方法。首先可以运用非标准分析的方法定义*-有限图，得到一类为*-有限图的充要条件，利用转换原理把有限图的部分理论应用到*-有限图，将给定的无限图嵌入到某个*-有限图中，从而为无限图的理论研究提供了一种新的想法。

（二） 非标准分析在拓扑空间中的应用

1. 在模糊拓扑空间中的若干应用

国内外许多学者们首先对模糊集合及其相关运算进行了非标准扩张，从而把非标准分析的部分理论应用到了模糊数学中。在此基础上，随后又通过共点原理，将非标准扩大的模型应用到了模糊数学里，使非标准的扩大模型具备了模糊运算的若干表现形式，还定义了模糊拓扑空间的定义， 运用非标准分析的一个重要工具——转换原理， 对模糊滤子的极限点及其模糊滤子的收敛性进行了非标准的刻画，证明了N-单子、R-单子和Q-单子对应的逼近定理及其相互间的关系，最后部分学者还对模糊拓扑空间中的紧性等进行了非标准的刻画及证明，这些刻画深刻的体现了非标准分析方法的好处，也使模糊拓扑学原有的定义、结论更清晰明。

2.在一致拓扑中的若干应用

目前，國内外部分学者利用非标准分析的方法和理论，对一致空间上的函数及一致收敛进行了非标准的刻画，最终得到了一致空间上的函数的U-等度连续性、rs-连续性等若干结论，并在此基础上，得到了这四种连续性之间存在的关系。并利用非标准分析的方法及理论定义了紧一致空间，得到了此空间上紧映射的部分性质，还利用U-微连续的定理，对一致空间上的函数的逼近定理做出了更加简便的证明， 对Cauchy滤子与一致结构单子两者之间存在的内在关系进行了讨论，得到了一致空间完备的充要条件，这些结果为今后继续探讨一致拓扑空间奠定了一定的基础。

3.在线性拓扑中的若干应用

众所周知，线性拓扑空间，是线性距离空间的更进一步推广。学者们利用非标准的方法和理论对集合的稠密、无处稠密等问题进行了非标准的刻画，并且利用这些结论证明了线性拓扑中凸包的部分性质。在Hausdorff拓扑中，通过非标准分析的方法及理论定义了集族上的Vietoris拓扑空间，还定义了两种不同的新单子：C、I单子，应用这两个单子对Hausdorff拓扑中集网按Vietoris 拓扑收敛的许多性质进行了讨论和研究，现有的结果为今后线性拓扑的更进一步发展做出了的贡献。

（三）非标准分析在概率论中的应用

借助于非标准分析理论，首先建立了一个扩大模型中的内概率空间，由测度扩张定理，可以将其完备化，形成了Loeb概率空间，并且证明了存在*有限概率空间，而在标准的Radon空间上展开的概率论可以由Loeb概率空间得到。对于Loeb可测函数g，存在所谓可积的内函数G，使得0G=g，由此可知，概率论在本质上是可以通过*有限概率空间理论来表示。通过非标准分析理论建立起来的测度论基础，为概率论给出了一个严密性的数学叙述，并在此基础上正在做出新的研究。

（四）非标准分析在物理学中的应用

量子力学是物理学的一个分支，主要研究的是微观世界的运动的规律和状态，非标准分析理论为其研究提供了重要的方法。Dirac， Schwarz， Gelqand 等许多数学家引入了奇异函数：点Delta函数，其基本观点是“*W的若干函数，它对于W中的若干函数具有筛取性质”，非标准分析理论使Delta函数定义中的一些漏洞得到了解决，被大家认可，从而为量子力学的研究注入了新的动力。

（五）非标准分析在经济学中的应用

在规范经济学中，数学的用处确实不是很大，但近年来，数学在实证经济学中的应用越来越广泛，实证经济学主要研究的是：通过各种经济手段及其机构使得稀缺资源满足大众的需求。在此，利用非标准分析理论的方法，研究了一般经济均衡理论和经济核心理论，并且建立了数学模型下的竞争模型，也就是经济均衡模型。在此基础上，证明了经济均衡与经济核心相重合，使Edgeworth猜想得到了验证，当然，非标准分析对于经济的影响有待进一步的探讨。

三、结语

非标准分析理论是数学理论不断发展和完善的产物，是数学发展中相对独立的表现，虽然已经取得的些许成果，但是如何利用非标准分析理论的方法，更好地来研究其他学科中问题，这还需要国内外学者共同努力，相信非标准分析将会对各学科的发展产生更大的影响。

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