Euler代换在不定积分求解中的运用

凌雪岷,潘娟娟，李 宁

（1.安徽新华学院 通识教育部，安徽 合肥 230031；2.淮南师范学院 金融学院，安徽 淮南 232038）

Euler代换在不定积分求解中的运用

凌雪岷1,潘娟娟1，李 宁2

（1.安徽新华学院 通识教育部，安徽 合肥 230031；2.淮南师范学院 金融学院，安徽 淮南 232038）

针对型不定积分，考虑到被积函数的复杂性，本研究引入数论中Euler代换的思想，利用Euler代换求解该类不定积分.同时通过具体实例说明利用Euler代换求解不定积分是适用范围更广的一类计算方法.

不定积分；整体代换；Euler代换

1 引言

不定积分是高等数学和微积分中的重要内容,熟练掌握不定积分对后续定积分的学习有重要帮助,因此对不定积分计算方法的归纳很有必要.对于一些简单的不定积分计算有直接积分法、换元积分法、分部积分法.其中,直接积分法可对照基本积分表快速得出结果.换元积分法又分为第一换元积分法(即“凑微分”法)和第二换元积分法.第二换元法较多地用于一些较简单的无理函数的不定积分计算,通过变换去掉被积函数中的根号,简化积分.但是究竟选用什么样的变换才能奏效一般由被积函数的特点所决定,解题时可以灵活考虑选择最简便的方法.分部积分法主要用于被积函数中含有对数函数、三角函数、反三角函数、幂函数或指数函数因子的情形,按“对反幂三指”的优先顺序选择使用分部积分法.

对于一些较为复杂的有理式不定积分计算,比如有理函数不定积分的处理,一般来说是把真分式(若是假分式,可化为多项式与真分式之和)分解为若干容易积分的简单分式之和,通过基本积分表分别求出每一部分的积分,最后求和可得最终结果.对含三角函数的有理式的不定积分即型不定积分,一般通过万能代换可把它化为有理函数的不定积分,但求解的过程并不一定简单,且在最终结果回代的过程中由于被积函数可能较复杂，容易出错,所以在具体计算时,应视被积函数特点采用更为灵活简便的代换.

对于某些无理根式的不定积分,则需要根据被积函数的类型选择合适的计算方法.形如型不定积分(ad-bc≠0),可用代换将其化为有理函数的不定积分.形如型不定积分的求解,可先通过配方法或换元法将原式转化为形如或型不定积分,再分别令u=vtant或 u=vsect或u=vsint,将原不定积分化为三角有理式不定积分,但是这样的计算过程往往较繁琐，且中间过程较多容易出错,即使得出了最终结果,还需要换回原来的变量,而且这样的结果也难以验证其正确性.

2 利用Euler代换求解不定积分

本节先给出了Euler代换的基本思想,然后给出一个求不定积分的例子,说明对于型不定积分求解时,整体代换和Euler代换两种方法都适用.再将被积函数的形式进一步推广,即型不定积分(Pn(x)为n次多项式函数)的求解,用实例说明此时整体代换已不适用,更进一步的说明了Euler代换是比整体代换应用更为广泛的一类运算方法.

2.1 代换的基本思想

③将原不定积分中的“x”全部替换成和“t”有关的函数,从而可将原无理式不定积分转化为和“t”有关的有理式的不定积分,再采用常见的求不定积分方法即可求解.

2.2 举例

这题先采用常见的整体代换的方法,再用Euler代换的方法.

3 结论

例1利用整体代换和Euler代换都可以求解,通过比较可以看出，Euler代换方法比整体代换方法较简单.在例2和例3中，利用Euler代换求解方法更能显示其有效性.然而，在目前的教材或文献中几乎没有提到Euler代换,因此,它是值得推广的一类有用的不定积分求解方法,可在日常教学中讲授,拓宽学生的知识面,提高学生解决问题的效率.

〔1〕同济大学数学系.高等数学(第七版)[M].北京:高等教育出版社，2014.

〔2〕裴礼文.数学分析中的典型问题与方法(第二版)[M].北京:高等教育出版社，2006.

〔3〕张丽娟,何珊珊,王福昌,刘艳艳,张艳芳.不定积分计算中一类有用的变量代换 [J].数学学习与研究，2013（17）: 110-111.

〔4〕钱吉林.数学分析题解精粹[M].武汉:崇文书局，2003.

O172.2

A

1673-260X（2017）04-0001-02

2017-02-07

安徽省质量工程一般教研项目(2016jyxm0479);安徽省高等学校省级教研项目(2015jyxm305);安徽省自然科学省级重点项目(KJ2016A310)