浅谈初中数学思想和数学方法

鲍仲玲

目前，随着课程改革的不断深入，对学生的考察，不仅考查基础知识，基本技能，更加注重学生数学能力的培养、思想方法的引导、个性品质的形成。因此在基础知识学习过程中，不仅要求学生能掌握基础知识，还要能阐述出在结论的探索过程中所反映出来的数学思想和方法，重视对学生的学习方法和策略的指导，使学生逐步树立数学思想方法意识，让他们在探索中学会学习。从而提高学生的数学素养。因此数学家乔治波利亚所说：“完善的思想方法犹如北极星，许多人通过它而找到正确的道路。”

所谓数学思想，就是对数学知识和方法的本质认识，是对数学规律的理性认识，是属于数学观念，比较抽象。所谓数学方法，就是解决数学问题的基本策略，是数学思想的具体反映，它是实施数学思想的手段。数学思想是数学的灵魂，数学方法是数学的行为。运用数学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程，当这种量的积累达到一定程序时就产生了质的飞跃，从而上升为数学思想。

在初中数学的学习中，要求了解的数学思想有：分类讨论的思想、数形结合的思想、方程函数的思想、转化的思想、整体代换的思想类比的思想等。要求理解或会运用的方法有：配方法、待定系数法、图像法、消元法、特殊值法等。其实思想和方法是不能截然分开的，初中数学中用到的各种方法都体现着一定的思想，而数学思想又是对方法的理性认识。因此，通过对数学方法的理解和应用以达到对数学思想的了解，是使思想与方法得到交融的有效方法。

数学思想是分析、处理和解决数学问题的根本想法，是对数学规律的理性认识。由于中学生认知能力和中学数学教学内容的限制，只能将部分重要的数学思想落实到数学教学过程中，而对有些数学思想不宜要求过高。如在学习有理数、三角形、四边形、圆周角，一元二次方程求根公式的推导等知识时，会涉及到分类讨论的思想。分类讨论是一种逻辑方法，也是一种数学思想。有关分类讨论思想的数学问题都具有明显的逻辑性、综合性、探索性，重点考察学生的思维条理性和概括性，所以在试题中占有重要的位置。分类讨论应遵循的原则：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏，不重复，分类讨论的一般步骤是：明确讨论对象，确定对象的全体→确定分类标准，正确进行分类→逐步进行讨论，获取阶段性结果→归纳小结，综合得出结论；方程思想实现了由小学的算术法向初中代数法的转化，这是数学思想的一个重大转变。方程思想是指对于数学问题中的未知量和已知量之间的关系，用构建方程的方法来解决。我们能发现，许多较难的问题用方程都能迎刃而解；数形结合就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，数形结合的思想有利于把抽象的知识形象化。在初中数学的学习中，“数”与“形”是密不可分的，如借助数轴能很好地理解不等式及不等式组的解得问题，借助于图像能很好解决二次函数问题；转化的思想具体表现为从未知到已知的转化、一般到特殊的转化等。如圆中的角相等问题可以转化为弧相等来解决，“平行四边形的面积求法”的问题，通过探求解决问题的思想和策略，得到以化归思想指导将思维定向转化成求已知矩形的面积。这样以问题的变式教学，使学生认识到求解该问题的实质是等积变换，即要在保持面积不变的情形下实现化归目标，而化归的手段是“三角形位移”，还有可以将几何问题转化为代数问题来解决。

数学方法是分析、处理和解决数学问题的策略，掌握这些策略就很容易解决许多数学问题。如配方法：所谓配方，就是把一个代数式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简二次根式、解一元二次方程、证明不等式恒大于零、求函数的极值等方面都经常用到它；整体代入法，整体代入法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把比较复杂的数学式子看成一个整体，用它代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决：待定系数法，在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是求函数解析式中常用的方法之一。特殊值法：用合适的特殊元素（如数或图形）代入题设条件或结论中去，从而获得解答。这种方法叫特殊元素法。图像法：借助于符合题设条件的图形或图象的性质、特点来判断，作出正确的选择称为图像法。图解法是解选择题常用方法之一。

在数学学习的过程中，一定要全面渗透数学思想与方法，学习了一个知识点或做了一道题，要认真思考一下，用到了哪些数学思想与方法。数学思想与方法虽然说法各异，但毕竟是有限的，正确运用数学思想与方法学习数学或解题，有利于对知识进行比较归类，只有这样，才能把所学知识学得系统，学得灵活，才能把所学的知识真正纳入到你的知识结构中去，变成自己的能力。

总而言之，数学教学不仅是数学知识的教学，更重要的是数学思想方法的教学。数学思想方法都不是单独存在的，在解决问题的过程中要相互转换、相互补充，当我们在一种方法受阻的情况下，就应自觉地转向另一种方法。只要我们能把数学思想和数学方法渗透到平时的解题过程中，并且能够站到哲学的高度去反思自己的數学思维活动，我们就一定能够学好数学。