在比较中明晰概念

张士峰

【摘要】概念是构成小学数学基础知识的重要内容，不仅是学生学习其他数学知识的基础，更是学生发展思维、培养数学能力的基础。为让学生能正确地理解百分数的这一概念的内涵与外延，作者在教学《百分数的认识》（北师大版《数学》五年级下册，百分数的起始课）时，设计了三次不同的比较，籍此层层推进，不断接近百分数概念的本质属性。第一次比较，同中求同，让学生利用知识的迁移，从分数的意义中正向迁移出百分数的意义；第二次比较，异中求同，学生在不断用自己语言描述不同百分数的意义中，抽丝剥茧得出百分数意义的数学表述方式；第三次比较，同中求异，以一道改写题为抓手让学生通过比较得出分数百分数的异同。

【关键词】概念教学 比较

【中图分类号】G623.2 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）04-0106-02

本堂课，从知识点的角度可以分解为以下5个：1.百分数在实际生活中的应用；2.百分数的写法；3.百分数的读法；4.百分数意义；5.分数与百分数的异同。其一，知识点在知识体系中的地位，百分数在实际生活中的应用地位一般，百分数的写法、读法、意义都是重点，而百分数的意义与比较分数、百分数的异同又是难点；其二，知识点的前期知识储备，除了百分数的意义与比较分数、百分数的异同有一定的知识储备之外，其他知识点学生都是有相当的知识储备的；其三，课堂上的教师行为。百分数的读法与写法学生通过自学完全可以掌握，而作为教学重点与难点的百分数的意义与比较分数、百分数的异同，教师必须在教学过程中借助具体情境和生活实例，通过比较、总结帮助学生形成正确的概念。

一比：同中求同——从分数的意义中引出百分数的意义

师：同学们，90%在这里表示什么意思？

生1：90%表示100道题目，孙芳做对了90道。

师：可以这样表述。还有其他的说法吗？

生2：90%表示，做对的题数占总题数的百分之九十。

师：你是怎么想得？

生2：因为90%这个百分数是从18/20这个分数来的。18/20表示做对的题数占总题数的18/20，那么90%就可以表示做对的题数占总题数的90%。

师：你选择其中的一个百分数，像这位同学一样同桌之间相互说一说吗？

本堂课百分数是从分数中引出的，引导学生在理解分数的意义上得出百分数的意义是利用了知识的正向迁移。90%这个百分数是分数 通过分子分母同时乘5得到的，在本题中 是指某同学在20道题目中做对了18道题，或者说是做对的18道题占总题数20道的 。在百分数的意义没有完全用简明的数学语言表示之前，学生利用已有的表述分数意义的语句来描述百分数的意义。这正是本教学环节安排的意义所在：利用已有的数学知识来解决未知的数学问题。学生的已有经验告诉他（她）：百分数是分数通过通分得来的，百分数的意义也可从分数的意义中引申过来。于是课堂上学生就有了两种百分数意义的描述方式：（1）90%表示100道题目，孙芳做对了90道；（2）90%表示，做对的题数占总题数的百分之九十。以上两种意义的表述方式，第二种更符合或者说更接近百分数意义的正确表述方式，因此教师在处理时就有了侧重点，更注重引导学生用第二种方法来描述百分数的意义。

二比：异中求同——概括百分数的意义

师：看来大家对百分数的有了一定的认识，老师为大家准备了一些百分数，你能说一说它们的意义吗？（PPT出示，配图）

1.我国男性人口约占总人口的57%。

2.地球上的水约是70%都是海洋水。

3.我校今天的出勤率约是96%。

4.涤纶占70%，棉占30%。

这四组题目具有一定的代表性：第一个数据与百分数意义的表述方式完全相同，第二数据总量与部分量的顺序相反，第三个数据则是最常见的“率”，第四则是不出现总量（但可以根据图来确定总量）。通过这样四组表述不同的百分数意义理解，旨在异中寻同，概括出百分数意义的一般表述方法。

先给学生一个独立思考的空间，以便后面学生进一步的交流。在学生反馈的同时教师对学生的方法不进行任何指点，让学生充分展示自己的想法。通过大量的练习，学生感受这里的百分数表示的是通过一个数和另一个数在做比较，表示两个数量之间的一种关系。

师：说了这么多百分数的意义，你能用一句话来概括百分数的意义吗？

从教师出示的各种各样的百分数让学生描述百分数的意义，这都是有着其背景知识的或者说是具体的情境的，学生这样的百分数意义的描述方式是具有局限性的，如何在各种各样的情境中抽象出百分数意义的数学表述方式呢？这就需要通过观察各种各样的具有具体题目背景的百分数的意義的表述方式，并通过比较最后得出一个用简明扼要的数学语言描述的百分数的意义不表述。

三比：同中求异——比较百分数与分数的异同

从本堂课的设计来看，百分数是源自于分数，百分数的意义也是脱胎与分数，学生会想当然地认为，分数有的属性百分数同样具有。然而，事实上分数与百分数终归是有区别的概念，两者之间虽有千丝万缕地联系，但还是有不同的属性的。然而学生认识到这一点是非常困难的，这便是知识的负向迁移造成。因此，厘清百分数与分数的不同之处也就成了本堂课的一个教学难点。为了使学生能清晰地比较百分数与分数的不同之处，课前我设计了这样一道练习题（PPT出示）：

以下分数能改写成百分数吗？

1.运走了一堆煤的 。

2.一条绳子长 m。

3.黑板的长比宽长 m。

改写是一个手段，目的是引导比较分数与百分数的异同。这样课堂上学生通过辨析，便能较为容易地得出了百分数与分数的异同。相同之处为：百分数与分数都可以表示两个数之间相比的关系，即一个数是另一个数的几分之几（或百分之几）。不同之处为，分数还可以带计量单位表示一个量，而百分数不能带计量单位表示量。由于百分数只表示两个数之间相比的关系，所以百分数也叫百分比；如果是表示部分同总数相比，百分数也叫百分率。此外百分数与分数还有在写法上、读法上的不同，百分数的分母只能为100，而分数的分母则可以是任何非0自然数。所以，讨论前的独立思考不是“空白”，而恰恰是思维的最高处。在整个教与学的过程中，教师注重学生对于百分数概念的理解过程，机智地运用学生的迁移，并不是急于牵引学生回到标准答案上来，而是诱发学生自觉地反思、体会，逐步靠近准确的概念。

参考文献：

[1]斯苗儿.《小学数学教学案例专题研究》.第1版.杭州.浙江大学出版社.2005年.第88-99页.第248-260页.

[2]雷玲.《好课是这样炼成的（品读名师经典课堂数学卷）》.第1版.南宁.广西教育出版社.第71-75页.

[3]张树伟.备课：教育无痕的艺术.《中国教育报》2005年5月26日第7版.