高效课堂案例分析——勾股定理

汪洪丹

初二学生大部分都有玩闯关游戏经验，通过游戏设置关卡，充分激发学生的求知欲，体现学生学习的主观能动性；让学生参与，让学生讲，让学生议论，让学生验证、论证，让学生练，帮助学生正确建构自己的数学认知结构，提高他们的数学水平.

教学目标：

1.经历勾股定理的探究过程，感受数学问题由“观察——猜想——验证——论证”的科学研究方法，体会数学问题中由特殊到一般的数学思想。

2.能用勾股定理解决一些简单问题。

教学重点：探究勾股定理探索并证明勾股定理。

教学难点：勾股定理的探究和证明。

教学过程：

老师导入语：同学们，我们今天来玩游戏吧！我设置了一个闯关游戏，分为五关，每关都设有相应的分值，小组比赛制，最后看总分，分高组有奖哦！请看第一关：眼力大比拼。

设计意图：重视引言教学，以游戏名义开始教学，吸引学生的兴趣。

第一关：眼力大比拼——【导入】

问1：这是我家的地板，请观察上图中三个正方形的面积之间有什么关系？

问2：等腰直角三角形的三边之间又有什么关系？

结论：等腰直角三角形两直角边的平方和_____斜边的平方。

设计意图：通过生活常见的地板，引出特殊的直角三角形的三边关系，体会数学问题来源于生活，而且处处都可以发现问题。

老师：第一关你们闯关成功。通过第一关我们知道等腰直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，那你们接下来会有什么猜想呢？

第二关：大胆猜想

老师：你们会有什么猜想呢？

学生猜想：一般的直角三角形两直角边的平方和是否等于斜边的平方？

猜想：一般的直角三角形两直角边的平方和是否等于斜边的平方？

设计意图：通过引导，大胆猜想，体会由特殊到一般的数学思想。

第三关：验证猜想

【探究一】

请测量下列直角三角形的三边长，并分别计算出两直角边的平方和与斜边的平方。

老师：为节约时间，我指定第1，2小组测量图（1）；第3，4组测量图（2）；第5，6组测量图（3）；测完后各小组派个代表报数，并说明实验数据能不能驗证猜想。

设计意图：通过实验操作，来验证猜想；通过参与验证的过程，增强学生学习数学的自信心。

老师：我现在用几何画板向大家展示，任意画一个直角三角形，并把两直角边及斜边长度量出来了，算出它们的平方，你们注意观察数据的变化，看是否是一直满足两直角边的平方和等于斜边的平方。

老师：通过几何画板可以画出无数个的直角三角形，这些三角形是否验证了我们的猜想关系式？

设计意图：体会数学是一门严谨的学科，实验只能验证猜想，还需要理论论证。

第四关：论证猜想

拼图游戏：用相同的直角三角形拼一个特殊的图形。

游戏规则：（1）以4个全等的任意直角三角形的边为界，拼成一个外围是正方形的图形。（2）游戏在3分钟之内完成。

老师：小组进行比拼，看哪组拼的方法多且快。拼完的小组举手。学生基本上会拼出两种图形：

老师：我们拼图的目是想通过拼图来论证我们的猜想，下面各组讨论，我把那全等的直角三角形的两直角边令为a、b，斜边令为c，怎么通过我们的拼图来论猜想。（小组讨论3分钟后，请小组讲解）

小组通过面积关系，可以推出直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。

设计意图：展示小组合作能力；发展学生的形象思维；体会数形结合思想；提高分析问题能力和解决问题能力；通过证明的过程，增强学生学习数学的自信心。

【勾股定理】

勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。

（数学符号语言表达）：

∵在Rt△ABC中，∠C=90°

∴_____

学习勾股定理后，用语音播放勾股定理的发展历史，及我国古代的前辈们早在公元前1000多年前就发现了勾股定理。

设计意图：了解我国古代数学家对勾股定理的发现及证明做出的贡献，增强民族自豪感。

思考：（公式变形）

在直角三角形中，两直角边分别为a和b，斜边为c：

（1）若已知a，b，则c2=_____，即c=_____。

（2）若已知c，b，则a2=_____，即a=_____。

（3）若已知c，a，则b2=_____，即b=_____。

设计意图：学生要掌握勾股定理的变形，体会勾股定理可以用来求直角三角形的边长。

第五关：知识应用大比拼

1.已知直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c。

（1）若a=6，b=8，则c=_____。

（2）若c=3，b=2，则a=_____。

（3）若c=4，a=3，则b=_____。

2.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（ ）。

A.5 B.7 C.[7] D.5或[7]

3.判断对错：若a、b、c为Rt△ABC的三边，则a2+b2=c2。（ ）

设计意图：考察学生能否掌握勾股定理的表达式，体验强调直角的重要性；以及分类讨论的数学思想。

4.如图，受台风彩虹的影响，一棵大树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离树根底部12米处。求这棵树原来有多高？

设计意图：通过学生亲身经历的生活背景，来考察勾股定理在实际生活中的应用。

小结：教师和学生一起回顾本节课所学内容，总结这节课体会的从特殊到一般及数形结合的数学思想；在研究问题的过程是：观察，猜想，验证，论证。

设计意图：感悟数学思想，引发学生更深层次的思考，促进学生数学思维品质的提高。

思考题：湛江海湾大桥是“广东省第一跨海大桥”。如图，已知桥塔高AD=150米，其中有两条拉索：AB=AC=170米，求桥面BC的距离。

设计意图：通过学生周围的事物来出题，体会数学来源生活，用于生活。